Tenseur - Définition

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Propriétés

Ordre

L'ordre d'un tenseur est le nombre d'indices matriciels nécessaires pour décrire une telle quantité. Par exemple en mécanique classique masse, température, et autres quantités scalaires sont des tenseurs d'ordre 0, mais force, déplacement et autres quantités vectorielles sont des tenseurs d'ordre 1. La théorie des tenseurs offre des aspects neufs à partir de l'ordre 2 et supérieurs.

Ordre est aussi le nom du couple (h,k)h désigne le nombre d'indices contravariants et k le nombre d'indices covariants.

Valence

Dans les applications physiques, on distingue les indices matriciels, selon qu'ils sont contravariants (en les mettant en exposant) ou covariants (en les mettant en indice), en fonction du comportement de la grandeur tensorielle considéré face à des transformations linéaires de l'espace. La valence d'un tenseur est le nombre des indices matriciels associé au type de chacun d'eux ; des tenseurs de même ordre mais de valences différentes ne se comportent pas de la même façon lors de changement du système de coordonnées. Par ailleurs, un indice covariant peut être changé en indice contravariant par produit tensoriel contracté avec le tenseur métrique. On appelle cette opération élever ou abaisser des indices.

On note la valence en disant que le tenseur est de type (n,m) où n est le nombre d'indices contravariants et m le nombre d'indices covariants. La valence ne note pas l'ordre des indices. La valence est aussi utilisée quand on note le tenseur par une lettre, un indice en haut signifie alors que le tenseur est contravariant pour cet indice, un indice en bas signifie que le tenseur est covariant pour cet indice. On notera donc les vecteurs avec un indice haut, et les formes linéaires avec un indice bas.

Exemples :

Les vecteurs sont des tenseurs d'ordre 1 contravariants. ils sont donc tenseurs de valence (1,0)

Les formes linéaires sont des tenseurs d'ordre 1 covariants. ils sont de valence (0,1)

L'intérêt d'une telle notation, c'est qu'en cas de changement de base, elle donne directement le nombre de multiplications par la matrice de changement de base à effectuer : n, et par son inverse : m.

Pour le changement de base d'un tenseur (1,1), on aura une multiplication par la matrice de changement de base, et une multiplication par son inverse, exactement comme pour les matrices en algèbre linéaire.

Opérations sur les tenseurs

Somme et multiplication par un scalaire

La somme de tenseurs de même ordre et mêmes valences est un tenseur de même ordre et de même valence que les deux tenseurs de départ. Dans ce cas, (\underline{\underline{a}}+\underline{\underline{b}})_{ij} = \underline{\underline{a}}_{ij}+\underline{\underline{b}}_{ij}.

Le produit d'un tenseur et d'un scalaire est un tenseur de même ordre et de même valence que le tenseur de départ.

L'ensemble des tenseurs d'ordre et de valence donnés forment donc un espace vectoriel.

Produit scalaire

Le produit scalaire de deux tenseurs de même ordre et de valences différentes pour chacun des indices (tous les indices qui sont contravariants pour l'un doivent être covariants pour l'autre) : le résultat est un scalaire.

Produit tensoriel

Le Produit tensoriel entre A d'ordre n, et B d'ordre p produit un tenseur d'ordre (n+p). Les n premiers indices sont repris de A, et les p indices suivants sont repris à partir de B. Leurs valence est la même que l'indice dont ils proviennent. Chaque composante du résultat est le produit :
- de la composante de A associée aux n premiers indices de la composante du résultat
- de la composante de B associée aux p derniers indices de la composante du résultat.
Exemple : Si on représente deux formes linéaires par deux tenseurs (donc tenseurs d'ordre 1 et covariants), alors le produit tensoriel des deux tenseurs représente une forme bilinéaire, linéaire par rapport à chacune des variables des formes linéaires de départ. La notion de produit tensoriel provient donc directement de la notion de produit de fonctions.

Abaissement d'indice

Un indice haut peut être changé en un indice bas par multiplication avec le tenseur métrique inverse, gab

T_{ac}=g_{ab} T^b_c

(On utilise la convention d'Einstein, le signe somme sur l'indice b est sous-entendu)
Le résultat est un tenseur de même ordre mais de valence différente : un indice contravariant est devenu covariant dans le tenseur résultat.

Élévation d'indice

Un indice bas peut être changé en indice haut par multiplication avec le tenseur métrique gab :

T^a_c=g^{ab}T_{bc}

Le résultat est un tenseur du même ordre mais de valence différente : un indice covariant est devenu contravariant dans le tenseur résultat.

Contraction

Le contracté d'un tenseur sur deux indices i et j, l'un étant covariant et l'autre contravariant est un tenseur d'ordre n-2 où n est l'ordre du tenseur de départ. Les indices i et j ont disparu dans le tenseur résultat ; la valence des autres indices est inchangée.

T^a=T^{ac}_c

Ici on a fait la somme sur toutes les valeurs possibles des deuxièmes et troisièmes indices, quand ceux-ci sont égaux.

Produit tensoriel contracté

Le produit tensoriel contracté entre A d'ordre n, et B d'ordre p, est un tenseur d'ordre (n+p-2). Les n-1 premiers indices proviennent de A (leurs valences respectives sont les mêmes que les n-1 premiers indices de A), les p-1 derniers proviennent de B (leurs valences respectives sont les mêmes que les p-1 derniers indices de B). Le produit tensoriel contracté est un produit tensoriel suivi d'une contraction entre l'indice n et l'indice n+1 du tenseur d'ordre n+p.
Une généralisation de ce produit contracté est le double-produit contracté (dont le résultat est un tenseur d'ordre n+p-4), le triple-produit contracté (dont le résultat est un tenseur d'ordre n+p-6), etc. De manière générale, le p-produit contracté définit un produit scalaire pour l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre p. Le double-produit contracté est notamment très utilisé pour décrire la déformation élastique des matériaux.

Champs de tenseurs

Gradient

Le gradient d'un champ de tenseurs d'ordre n (ce sont les tenseurs qui sont d'ordre n) est un champ de tenseurs d'ordre n+1. Les n premiers indices ont la même valence que le tenseur de départ. L'indice supplémentaire est covariant. C'est une sorte de dérivée spatiale.

Divergence

La divergence d'un tenseur d'ordre n est un tenseur d'ordre n−1. L'indice manquant est contravariant.

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