Matrice diagonalisable - Définition

Matrices simultanément diagonalisables

Plusieurs matrices sont dites simultanément diagonalisables si elles sont semblables à des matrices diagonales dans une même base.

Une condition nécessaire et suffisante pour un ensemble de matrices diagonalisables est que toutes les matrices de l'ensemble commutent deux à deux.

Une application de ce résultat concerne les représentations de groupes finis par des groupes de matrices complexes inversibles. Comme chaque élément du groupe est d'ordre fini, il annule un polynôme de la forme Xⁿ − 1 qui est scindé à racines simples sur le corps des complexes. Donc chaque matrice de la représentation est diagonalisable. Si en outre le groupe est abélien, il existe une base dans laquelle toutes les matrices de la représentation sont diagonales.

Répartition

La répartition des matrices diagonalisables dans l'ensemble des matrices carrées d'une taille donnée peut être estimée en termes de topologie, pour démontrer certains résultats par densité, ou en termes de mesure pour évaluer la probabilité qu'une matrice prise au hasard soit diagonalisable.

L'ensemble des matrices à coefficients réels ou complexes (d'une taille fixée) est muni d'une unique topologie séparée compatible avec sa structure d'espace vectoriel. Elle peut être obtenue par exemple à l'aide d'une norme matricielle. Le choix d'une base de l'espace des matrices permet en outre de définir une mesure de Lebesgue associée.

Sur le corps des complexes

Une partie des matrices diagonalisables est constituée de celles dont le polynôme caractéristique est à racines simples, c'est-à-dire de discriminant non nul. Comme ce discriminant est polynomial en les coefficients des matrices, son lieu d'annulation est un fermé. Par passage au complémentaire, les matrices dont le polynôme caractéristique est à racines simples forment donc un ouvert.

N'importe quelle matrice peut être approchée par de telles matrices en perturbant les coefficients diagonaux d'une matrice triangulaire semblable. L'ensemble des matrices diagonalisables contient donc un ouvert dense. Par passage au complémentaire, l'ensemble des matrices non diagonalisables (inclus dans le lieu d'annulation du discriminant) est donc rare, c'est-à-dire que son adhérence est d'intérieur vide.

Plus précisément, le lieu d'annulation du discriminant est une sous-variété algébrique (stricte) donc elle est de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue (quelle que soit la base choisie) ou pour n'importe quelle mesure qui lui est absolument continue.

Enfin, l'ensemble des matrices diagonalisables est un cône, c'est-à-dire qu'il est stable par multiplication scalaire, donc il est connexe par arcs via la matrice nulle. En particulier, il est donc connexe.

Il est possible de démontrer aussi que l'ensemble des matrices diagonalisables inversibles est également connexe par arcs comme image du produit des matrices diagonales inversibles (isomorphe à un produit fini de copies du groupe des complexes non nuls) et du groupe linéaire, tous deux connexes par arcs.

Sur le corps des réels

À partir de la dimension 2, l'ensemble des matrices diagonalisables sur le corps des réels n'est pas dense comme dans le cas complexe, donc l'ensemble des matrices non diagonalisables n'est pas négligeable pour la mesure de Lebesgue. En effet, l'ensemble des matrices réelles non diagonalisables sur les réels et dont le polynôme caractéristique est à racines simples sur le corps des complexes forme alors un ouvert non vide.

En dimension 2 ou 3, la diagonalisabilité d'une matrice est déterminée par le signe du discriminant de son polynôme caractéristique lorsqu'il est non nul. Le lieu d'annulation de ce discriminant réunit alors les matrices non diagonalisables même sur le corps des complexes et les matrices diagonalisables dont le polynôme caractéristique est à racines multiples.