Espace vectoriel - Définition

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Application linéaire

Les fonctions linéaires \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}, rencontrées au collège, sont des exemples d'applications linéaires.

Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K. Une application f de E vers F est dite linéaire si elle est additive et commute à la multiplication par les scalaires :

\forall (x,y) \in E^2, \ f( x+y)= f(x)+f(y),
\forall \lambda\in \mathbf{K},\ f(\lambda x)=\lambda f(x).

Autrement dit, f préserve les combinaisons linéaires, c'est-à-dire : pour toute famille finie (v_i)_{i\in I} de vecteurs et pour toute famille (\lambda_i)_{i\in I} de scalaires,

f\left(\sum_{i\in I}\lambda_iv_i\right)=\sum_{i\in I}\lambda_if(v_i).

L'ensemble des applications linéaires de E dans F est noté \mathcal L(E,F) dans cet article. Il peut aussi être noté Hom(E,F) ou encore Hom_{\mathbf{K}}(E,F). La somme de deux applications linéaires, ou la multiplication d'une application linéaire par un scalaire, est encore une application linéaire. Donc, \mathcal L(E,F) est un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions de E dans F. La composée d'applications linéaires de E dans F et de F dans G est une application linéaire de E dans G. Lorsque \ F=E, ces applications sont appelées endomorphismes de E et on note leur ensemble L(E). Un isomorphisme d'espaces vectoriels est une application linéaire bijective. Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. L'ensemble des automorphismes de E est le groupe linéaire noté \ GL(E).

L'application naturelle de \mathcal M_{m,n}(\mathbf{K}) dans \mathcal L(\mathbf{K}^n,\mathbf{K}^m), qui à toute matrice A associe l'application linéaire X\mapsto AX, est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Noyau et image

Dans R3, un plan est le noyau d'une forme linéaire.

Pour toute application linéaire f de E dans F,

  • Les vecteurs x de E tels que f(x)=0 forment un sous-espace vectoriel de E, appelé noyau de f et noté \ {\rm Ker}(f). Plus généralement, la préimage de tout sous-espace vectoriel de F par f est un sous-espace vectoriel de E.
  • Les vecteurs f(x) pour x dans E forment un sous-espace vectoriel de F, appelé image de f et noté \ {\rm Im}(f). Plus généralement, l'image par f de tout sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F. Le quotient F/Im(f) s'appelle le conoyau de f.

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est l'espace nul. Si E et F sont de dimension finie, on a les résultats suivants: Une application linéaire est dite surjective si et seulement si la dimension de son image est égale à la dimension de F (i. e., F= \ {\rm Im}(f) ). De plus, si E et F sont isomorphes, i. e., ils ont la même dimension, alors f est un isomorphisme, ce qui est équivalent à dire que f est surjective, ce qui est équivalent à dire que f est injective. Cette équivalence triple est facilement vue par le Théorème du Rang:

\dim (E) = \dim\ {\rm Ker}(f) + \dim \ {\rm Im}(f).

Le nom de ce théorème est né du fait que la dimension de l'image de f est aussi appelée de Rang(f)

La preuve de ce théorème ce fait en appliquant le théorème du ballon à une base du noyau de f (disons de dimension n) de façon à obtenir une base de E (de dimension n+m) et ainsi étant suffisant de montrer que la liste formée par l'application de f aux m vecteurs ajoutés à la base du noyau de f est linéairement indépendant et est une liste génératrice de l'image de f, étant ainsi une base de celle-ci.

      Le graphe de f est l'ensemble des couples (x,f(x)) où x parcourt E. C'est un sous-espace vectoriel G de E\oplus F, dont l'intersection avec E\oplus 0 est Ker(f).      

Forme linéaire

Une forme linéaire ou covecteur sur un K-espace vectoriel E est une application linéaire de E dans le corps K vu comme espace vectoriel. Les formes linéaires sur E forment un K-espace vectoriel appelé l'espace dual de E et noté E*. Le noyau d'une forme linéaire est appelé hyperplan.

Sur l'espace vectoriel E des applications continues de [0,1] dans R, l'intégrale de Riemann f\mapsto \int_0^1 f est une forme linéaire.

Espace vectoriel quotient

Soit F un sous-espace vectoriel de E. L'espace quotient E/F (c'est-à-dire l'ensemble des classes d'équivalence de E pour la relation « u~v si et seulement si  u-v appartient à F», muni des opérations définies naturellement sur les classes) est un espace vectoriel tel que la projection E \rightarrow E/F (qui associe à u sa classe d'équivalence) soit linéaire de noyau F.
Un sous-espace vectoriel G de E est un supplémentaire de F si et seulement si la restriction de la projection induit un isomorphisme de G sur E/F.

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