Développement décimal de l'unité - Définition

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- Introduction - Démonstrations algébriques - Démonstrations à partir de la construction des nombres réels - Démonstrations analytiques - Applications - Généralisations - Dans la culture populaire - Scepticisme dans l'enseignement - Problèmes connexes - Dans les systèmes de numération alternatifs - Bibliographie

Introduction

Est-ce une représentation de 1 ?

En mathématiques, le développement décimal périodique qui s'écrit $\scriptstyle 0,999\ldots$ , que l'on dénote encore par $\scriptstyle 0,\bar{9}$ , $\scriptstyle 0,\dot{9}$ ou $\scriptstyle 0,(9)$ représente un nombre réel dont on peut montrer que c'est le nombre 1. En d'autres termes, les deux notations $\scriptstyle 0,999\ldots$ et $\scriptstyle 1$ sont deux notations différentes pour le même nombre. Les démonstrations mathématiques de cette identité ont été formulées avec des degrés variés de rigueur mathématique, selon les préférences pour la définition des nombres réels, les hypothèses sous-jacentes, le contexte historique et le public visé.

Le fait que certain nombres réels peuvent être représentés par plus d'une chaîne de « décimales » n'est pas limité au système décimal, c'est-à-dire de base 10. Le même phénomène a lieu dans toutes les bases entières, et les mathématiciens ont aussi repéré la manière d'écrire 1 dans des systèmes à base non-entière. Ce phénomène n'est d'ailleurs pas spécifique au nombre 1 : tout nombre décimal non-nul dont l'écriture est finie a une autre écriture avec une infinité de 9, comme $\scriptstyle 8,32 = 8,31999\ldots$ L'écriture avec un nombre fini de décimales est plus simple, et est presque toujours celle que l'on préfère, ce qui contribue au préjugé que c'est la « seule » représentation. Cependant, l'autre forme, avec une infinité de décimales, est parfois plus utile pour la compréhension du développement décimal de certaines fractions, ou, en base 3, pour la structure de l'ensemble de Cantor ternaire, une fractale simple. La forme non-unique doit être prise en compte dans la démonstration classique de ce que l'ensemble des entiers n'est pas dénombrable. Plus généralement, tout système de représentation numérique positionnelle pour les nombres réels contiennent une infinité de nombres ayant des représentations multiples.

L'égalité $\scriptstyle0,999\ldots = 1$ a longtemps été acceptée par les mathématiciens et enseignée dans les manuels. Ce n'est que dans les dernières décennies que les chercheurs en enseignement des mathématiques ont étudié comment les élèves admettaient cette égalité. Certains la rejettent, en raison de leur intuition que chaque nombre a un développement décimal unique, qu'il doit y avoir des nombres infinitésimaux non-nuls, ou bien que le développement $\scriptstyle 0,999\ldots$ finit par se terminer. Ces intuitions n'ont pas lieu d'être dans le système des nombres réels, mais il existe d'autre systèmes de nombres qui peuvent en admettre certaines. Dans certains cadres, il y a des nombres qui « évitent » 1 ; ces systèmes sont en général sans connexion avec le problème de $\scriptstyle 0,999\ldots$ , mais ils peuvent être d'un intérêt considérable pour l'analyse mathématique.