Convergence de variables aléatoires - Définition
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Introduction
Dans la théorie des probabilités, il existe différentes notions de convergence de variables aléatoires. La convergence (dans un des sens décrits ci-dessous) de suites de variables aléatoires est un concept important de la théorie des probabilités utilisé notamment en statistique et dans l'étude des processus stochastiques. Par exemple, la moyenne de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées converge presque sûrement vers l'espérance commune de ces variables aléatoires. Ce résultat est connu sous le nom de loi forte des grands nombres.
Dans cet article, on suppose que (Xn) est une suite de variables aléatoires réelles, que X est une variable aléatoire réelle, et que toutes ces variables sont définies sur un même espace probabilisé 
.
Convergence en loi
Soient F1, F2, ... la suite des fonctions de répartition associées aux variables aléatoires réelles X1, X2, ..., et F la fonction de répartition de la variable aléatoire réelle X. Autrement dit, Fn est définie par Fn(x)=P(Xn ≤ x), et F par F(x)=P(X ≤ x).
La suite Xn converge vers X en loi, ou en distribution, si
-
pour tout réel a où F est continue.
Puisque F(a) = P(X ≤ a), cela signifie que la probabilité que X appartienne à un certain intervalle est très similaire à la probabilité que Xn soit dans cet intervalle pour n suffisamment grand. La convergence en loi est souvent notée en ajoutant la lettre 
(ou 
pour distribution) au-dessus de la flèche de convergence:
La convergence en loi est la forme la plus faible au sens où, en général, elle n'implique pas les autres formes de convergence définies ci-dessous, alors que ces autres formes de convergence impliquent la convergence en loi. C'est ce type de convergence qui est utilisé dans le théorème de la limite centrale.
De manière équivalente, la suite (Xn) converge en loi vers X si et seulement si pour toute fonction continue bornée
![\lim_{n\rightarrow\infty} E[f(X_n)]=E [f(X)].](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/4/4df277188d111e3ffb3a55fbcc53e237_10bb4adb52ba4f71543d5c8ff0a0adf4.png){kind=small}
Théorème de continuité de Paul Lévy — Soit 
la fonction caractéristique de 
et 
celle de 
. Alors
Autrement dit, (Xn) converge en loi vers X ssi la fonction caractéristique de la variable aléatoire réelle Xn converge simplement vers la fonction caractéristique de la variable aléatoire réelle X.
La moyenne d'une suite de variables aléatoires centrées, indépendantes et de même loi, une fois renormalisée par 
converge en loi vers la loi normale
La loi de Student de paramètre 
converge, lorsque tend vers 
vers la loi de Gauss:
Dans ce cas, on peut aussi utiliser le lemme de Scheffé, qui est un critère de convergence d'une suite de variables aléatoires à densité vers une variable aléatoire à densité.
La suite 
converge en loi vers une variable aléatoire X0 dite dégénérée, qui prend une seule valeur (0) avec probabilité 1 (on parle parfois de masse de Dirac en 0, notée 
) :
![\mathbb{P}(X_0\le x)=\delta_0\left(]-\infty,x]\right)=\begin{cases}0 & \text{ si } x< 0,\\1 &\text{ si } x \geq 0.\end{cases}](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/5/558cc28ff14794779ac82a1bf2e028e1_ad8d1907094841dc7227a9977ff0a376.png)
Convergence presque sûre
On dit que Xn converge presque sûrement ou presque partout ou avec probabilité 1 ou fortement vers X si
Cela signifie que les valeurs de Xn approchent la valeur de X, au sens où (cf. presque partout) l'événement sur lequel Xn ne converge pas vers X a une probabilité nulle.
On note souvent cela 
ou 
(almost surely en anglais).
On peut expliciter la définition de la convergence presque sûre en utilisant l'espace probabilisé et le concept de variable aléatoire comme fonction de Ω dans 
:
Théorème — Xn converge vers X presque sûrement 
converge vers X en probabilité
La convergence presque sûre est utilisée dans la loi forte des grands nombres.