N-uplet - Définition

En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection de n objets tel qu'il soit possible de dire exactement celui qui est le premier élément, le second élément, ..., le nème. Les éléments sont aussi appelés composantes.

Si nous notons a₁ le premier élément, a₂ le deuxième élément, ..., a_n le nème élément, le n-uplet s'écrit : (a₁,a₂,...,a_n)

L'égalité des n-uplets se définit par

(a₁,a₂,...,a_n)=(b₁,b₂,...,b_n) si et seulement si a₁=b₁, a₂=b₂, ..., a_n=b_n.

Un 2-uplet est un couple, un 3-uplet est un triplet, un 4-uplet est un quadruplet, un 5-uplet est un quintuplet, ...

Si E₁, ..., E_n sont des ensembles alors l'ensemble des n-uplets (a₁,a₂,...,a_n) où a₁ appartient à E₁, ..., a_n appartient à E_n est le produit cartésien des ensembles E₁, ..., E_n.

Exemples

• Les points de l'espace vectoriel ordinaire sont représentés par des triplets de réels
• les nombres complexes sont construits à partir de couples de réels
• un quaternion peut être représenté par un quadruplet.

Formalisation

Formellement, un n-uplet peut être défini en terme d'ensemble par

(a₁,a₂,...,a_n)={a₁,{a₁,{a₂,{a₂,{a₃,{a₃,...,{a_n-1,{a_n-1,a_n}}...}}}}

ou en utilisant une définition récursive :

1. un 1-uplet (a₁) est simplement a₁;
2. si x est un n-uplet, alors (x,a_n+1) (i.e. {x,{x,a_n+1}}) est un (n+1)-uplet.

Il est assez facile de démontrer que ces définitions sont équivalentes, cependant les ensembles obtenus sont très différents.

Programmation

Beaucoup de langages de programmation supportent les n-uplets comme type de donnée, formés aussi bien d'objets tous de même type ou d'objets de types différents.

Le langage de programmation LISP a utilisé dès ses débuts la notion abstraite de paire pour créer toutes ses structures de n-uplets et de listes, de manière similaire à la définition récursive précédente.