Vecteur - Définition

Généralisations

Mathématiques

Les applications linéaires sont des fonctions d'un espace vectoriel dans un autre et respectant l'addition et la multiplication externe. Elles s'additionnent et se multiplient scalairement, et disposent donc des propriétés qui font d'elles des vecteurs. Il en est de même pour les matrices. Une matrice possède toujours les propriétés d'un vecteur, même si elle n'est pas de type colonne.

Les deux exemples précédents correspondent à des cas où la structure est enrichie par une multiplication interne. Elle porte le nom d'algèbre, ses éléments sont appelés souvent vecteurs et parfois points. Des exemples sont données par l'ensemble des polynômes à coefficients réels ou encore une algèbre de Lie.

Dans d'autres cas, la structure est appauvrie. Un module est une structure analogue tel que les scalaires différents de zéro ne sont plus toujours inversibles. Le terme de vecteur est néanmoins toujours utilisé.

Physique

Selon le point d'application des forces, le solide bascule ou non. L'objet mathématique associé est un vecteur glissant.

Les lois établissant les mouvements d'un point s'applique aussi dans le cas d'un solide, les calculs deviennent néanmoins plus complexes . Si les vecteurs restent omniprésents, le point d'application de la force possède son importance. Selon sa position, le solide tourne en plus du déplacement de son centre de gravité. Pour tenir compte de ce phénomène, de nouvelles définitions sont proposées. Un vecteur lié ou pointeur est un couple composé d'un vecteur et d'un point appelé point d'application. La rotation du solide est la conséquence d'une grandeur physique appelé moment. Elle ne dépend pas de la position du vecteur sur une droite donnée. Pour cette raison, un vecteur glissant est un couple composé d'un vecteur et d'une droite affine. Dans ce contexte, et pour éviter toute ambigüité, un vecteur au sens classique du terme est appelé vecteur libre.

Pour tenir compte à la fois de la rotation et du mouvement du centre de gravité, un être mathématique plus complexe est utilisé. Il porte le nom de torseur. Il correspond à un vecteur de dimension six, trois composantes décrivent le déplacement du centre de gravité et les trois autres la rotation du solide. Les torseurs possèdent en plus une loi de composition spécifique. La physique utilise d'autres généralisations, on peut citer le tenseur ou le pseudovecteur.

Informatique

L'informatique utilise le terme de vecteur, à la fois pour des raisons géométriques et algébriques. Le codage d'une image sur un écran d'ordinateur utilise au choix deux techniques : matricielle et vectorielle. La première utilise des éléments graphiques définis points par point. À chaque pixel est associé la quantité de couleurs primaires associée. Si cette méthode est économique en termes de puissance de calcul, un agrandissement de la taille de l'image possède pour conséquence un effet d'escalier.

Un dessin vectoriel est une représentation composée d'objets géométriques (lignes, points, polygones, courbes…) ayant des attributs de forme, de position, de couleur, etc. À la différence de la technique précédente, il s'agit d'une méthode plus coûteuse en termes de puissance de calcul mais dans laquelle l'effet d'escalier n'existe pas.

La représentation des données en informatique, pour les fonctions de mémoire ou de calcul, se fonde sur des tableaux d'octets. Si un octet est identifié à un scalaire, ce qui se conçoit car deux octets s'additionnent et se multiplient, alors un tel tableau s'apparente à une famille de composantes vectorielles. Pour cette raison, un tel tableau est appelé vecteur. Par extension, le terme de vecteur désigne aussi des tableaux dont les composantes sont autre chose que des nombres, par exemple des pointeurs ou des structures informatiques quelconques.