Vecteur de Runge-Lenz - Définition

Introduction

Dans cet article les vecteurs et leurs normes sont indiqués respectivement en gras et italique. Par exemple : .

En mécanique classique, le vecteur de Runge-Lenz ou invariant de Runge-Lenz est un vecteur utilisé principalement pour décrire la forme et l'orientation de l'orbite d'un corps astronomique autour d'un autre, comme dans le cas d'une planète autour d'une étoile. Pour deux corps en interaction gravitationnelle, le vecteur de Runge-Lenz est une constante du mouvement, ce qui signifie qu'il prend la même valeur en n'importe quel point de l'orbite ; de manière équivalente on dit que le vecteur de Runge-Lenz se conserve. Plus généralement le vecteur de Runge-Lenz est conservé pour n'importe quel problème à deux corps interagissant par le biais d'une force centrale variant comme l'inverse du carré de la distance entre eux. De tels problèmes sont appelés « problèmes de Kepler ».

L'atome d'hydrogène est un problème de Kepler puisqu'il comprend deux charges en interaction électrostatique, une autre force centrale en carré inverse de la distance. Le vecteur de Runge-Lenz fut essentiel dans les premières descriptions quantiques du spectre d'émission de l'atome d'hydrogène après le développement de l'équation de Schrödinger. Cependant cette approche est aujourd'hui très peu utilisée. En mécaniques classique et quantique, les grandeurs conservées correspondent généralement à une symétrie du problème. La conservation du vecteur de Runge-Lenz est associée à une symétrie inhabituelle : le problème de Kepler est mathématiquement équivalent à une particule se déplaçant librement sur une 3-sphère, ce qui implique que le problème et symétrique pour certaines rotations dans un espace à quatre dimensions. Cette symétrie supérieure résulte de deux propriétés du problème de Kepler : le vecteur vitesse se déplace toujours dans un cercle parfait et, pour une énergie totale donnée, tous les cercles de vitesse s'interceptent en deux mêmes points.

Le vecteur de Runge–Lenz est nommé d'après Carl Runge et Wilhelm Lenz. Il est également connu sous le nom de vecteur de Laplace (d'après Pierre-Simon de Laplace) bien qu'aucun de ces scientifiques ne l'ait découvert. Le vecteur de Runge-Lenz a en réalité été redécouvert plusieurs fois et il est équivalent au vecteur excentricité de la mécanique céleste. Plusieurs généralisations du vecteur de Runge-Lenz ont été définies pour tenir compte de la relativité générale, du champ électromagnétique et des différents types de forces centrales.

Contexte

Une particule seule se déplaçant sous l'effet d'un force centrale conservative possède au minimum quatre constantes du mouvement : son énergie totale, et les trois composante du vecteur moment cinétique L. La trajectoire de la particule est contenue dans un plan défini par sa quantité de mouvement initiale p (ou de manière équivalente par sa vitesse v) et par le rayon-vecteur r entre la particule et le centre de force (voir ci-dessous Figure 1).

Comme défini ci-dessous (voir ), le vecteur de Runge-Lenz A est toujours contenu dans le plan de la trajectoire pour une force centrale. Cependant A n'est constant que pour une force centrale en carré inverse. Pour de nombreuses forces A n'est pas constant mais change en norme et en direction ; si le champ de force centrale suit approximativement une loi en carré inverse, le vecteur A est approximativement constant en norme mais tourne lentement en direction. Un vecteur de Runge-Lenz généralisé se conservant peut être défini pour toutes les forces centrales mais le vecteur est alors une fonction compliquée de la position et n'est généralement pas exprimable de façon analytique.

Le plan de la trajectoire est perpendiculaire au vecteur moment cinétique L qui est constant ; ceci peut être exprimé par le produit scalaire r·L = 0 ; de la même façon, A étant contenu dans ce plan : A·L = 0.