Variété (géométrie) - Définition

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Histoire

On se contente ici d'une esquisse du mouvement historique qui a conduit à l'émergence du concept général de variété ; pour une histoire plus détaillée de l'évolution et de l'application de ce concept dans diverses branches des mathématiques (ex : géométrie riemannienne, géométrie symplectique), on renvoie aux articles dédiés.

Premiers résultats de géométrie intrinsèque

Il est difficile de dater quand précisément les questions de géométrie intrinsèque intéressèrent particulièrement les géomètres. Les Grecs posaient des problèmes invoquant les propriétés métriques d'un ensemble de points définis et positionnés dans le plan et dans l'espace. L'intérêt était explicitement porté sur le point de vue extrinsèque.

On attribue traditionnellement à Euler la découverte en 1752 d'une propriété des polyèdres convexes. En notant respectivement S, A et F les nombres de sommets, arêtes et faces, il démontre l'identité S-A+F=2, identité connue aujourd'hui sous le nom de relation d'Euler. Le résultat est d'autant plus surprenant qu'il ne fait intervenir ni les longueurs, ni les aires. Il est en fait encore valable pour les nombres de sommets, faces et arêtes d'une triangulation de la sphère. C'est le premier exemple de calcul de la caractéristique d'Euler d'une surface.

En 1813, L'Huilier remarque que la formule d'Euler est modifiée pour un polyèdre non-convexe, par exemple ayant la forme d'un solide avec des trous (comme le tore, qui a un trou). Elle devient S-A+F=2-2g, en notant g le nombre de trous. C'est là le premier calcul d'un invariant topologique permettant de classer les surfaces de l'espace. Cependant, le point de vue reste extrinsèque car les trous sont vus de l'extérieur. Comment une fourmi marchant sur une chambre à air peut-elle se représenter le trou ?

L'un des plus grands mathématiciens de son temps, Carl Friedrich Gauss, en s'intéressant à la géométrie des surfaces, établit un « résultat remarquable » (le theorema egregium) :

« la courbure de Gauss d'une surface de l'espace ne dépend pas de la façon dont celle-ci est plongée dans l'espace ambiant. »

La formule de Gauss-Bonnet, pressentie par Gauss et démontrée par Pierre-Ossian Bonnet en 1848, donnera l'expression de la caractéristique d'Euler en termes de courbure, témoignant de l'imbrication des considérations géométriques et topologiques.

De nouveaux espaces aux propriétés étranges

La géométrie non euclidienne naît de l'impossibilité de démontrer le cinquième postulat d'Euclide. On peut en trouver la première trace dans une tentative de démonstration par l'absurde de Saccheri en 1733. Gauss serait le premier à avoir compris la possibilité qu'il existe des géométries alternatives à celles d'Euclide. De telles géométries seront effectivement développées par Lobatchevski et Bolyai.

Le ruban de Möbius est introduit presque simultanément en 1858 par deux mathématiciens allemands August Ferdinand Möbius et Johann Benedict Listing. Il s'agit d'une surface de l'espace, facile à réaliser avec une bande de papier, et qui n'a qu'une seule face, une seule arête. C'est le premier exemple de surface non orientable.

Les variétés de Riemann

Bernhard Riemann.

Bernhard Riemann fut le premier à étendre de façon systématique la notion de surface à des objets de dimension plus grande, qu'il baptisa Mannigfaltigkeit. Cette terminologie a d'ailleurs donné le terme anglais manyfold ou manifold. Il en donne une description intuitive, une variété de dimension n étant un empilement continu de variétés de dimension n-1. Notons que cette description intuitive n'est en fait valable que localement, c'est-à-dire au voisinage de chaque point de la variété, dans l'acception moderne de variété. Riemann utilise ce concept pour décrire l'ensemble des valeurs d'une variable soumise à certaines contraintes, comme l'ensemble des paramètres décrivant la position d'une figure dans l'espace.

Les variétés connaissent rapidement beaucoup d'applications, pour l'étude du prolongement analytique et des variétés abéliennes en analyse complexe, pour l'étude des flots différentiables avec l'application de premier retour de Poincaré, pour la définition des mécaniques hamiltonienne et lagrangienne en physique. En 1904, en étudiant les variétés de dimension trois, Henri Poincaré soulève un des problèmes les plus célèbres de la théorie des variétés, connu sous le nom de conjecture de Poincaré, et dont la preuve par Grigori Perelman a été validée en juin 2006.

La notion de variété, bien qu'ayant trouvé une popularité certaine, restait floue. Hermann Weyl donna en 1912 une définition intrinsèque des variétés différentielles. Les publications des années 1930, notamment à l'occasion de la preuve du théorème de plongement par Hassler Whitney, établirent les résultats fondateurs de la théorie et donnèrent une popularité au nouvel objet.

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