Valuation - Définition

Propriétés

Propriétés générales

Soit A un anneau commutatif unitaire non nul muni d'une valuation v. Alors :

• v(1) = v( − 1) = 0 ;
•  ;
•  ;
• A est intègre ;
• il existe une unique valuation w sur le corps des fractions Frac(A) qui prolonge A :

.

Valuations discrètes sur le corps des rationnels

Les places de , c'est-à-dire les valuations discrètes sur à un facteur de proportionnalité près, sont:

• la valuation triviale ;
• les valuations p-adiques (cf. exemple ci-dessous).

Valeur absolue associée

Soit v une valuation sur A à valeur dans , et . On associe à v la valeur absolue ultramétrique telle que

Anneau de valuation

Soit K un corps commutatif muni d'une valuation v. Les éléments de K de valuation positive ou nulle constituent un sous-anneau R appelé l' anneau de valuation associé à la valuation v sur K :

.

Le corps des fractions de R est K.

On a v(1/x) = - v(x) pour tout élément non nul x de K, et donc x est un élément inversible de R si et seulement si v(x) = 0. Par conséquent, R est un anneau local dont l'unique idéal maximal M est constitué des éléments de valuation strictement positive :

.

Par exemple (pour les valuations usuelles sur ces corps) l'anneau de valuation de est et celui de de F((T)) (où F désigne un corps commutatif) est F[[T]]. Ces deux exemples sont de plus des anneaux de valuation discrète.

Il existe diverses caractérisations des anneaux de valuation:

Soient R un anneau commutatif unitaire intègre et K son corps des fractions. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. R est un anneau de valuation (pour une certaine valuation sur K)
2. pour tout élément x de K qui n'appartient pas à R, l'inverse de x appartient à R,
3. sur l'ensemble des idéaux principaux de R, l'ordre défini par l'inclusion est total,
4. sur l'ensemble des idéaux de R, l'ordre défini par l'inclusion est total.

Deux valuations v et v' sur K sont dites équivalentes si elles ont le même anneau de valuation. Ceci équivaut à l'existence d'un isomorphisme de groupes ordonnés

.

Le point de vue métrique

Si v une valuation sur un corps K, alors l'application

est une distance sur K qui fait de K un corps topologique. La topologie sur K associée à cette distance est la plus petite rendant v continue pour la topologie de l'ordre sur G. On dit que K est complet pour v s'il est complet pour cette distance.

La complétion de K pour v est le procédé décrit ci-dessous :

• On note A l'anneau des suites de Cauchy de F, et on identifie les éléments de A aux suites constantes. La valuation de K se prolonge à A en une valuation encore notée v. L'ensemble I des suites de Cauchy tendant vers 0 est un idéal maximal de A sur lequel la valuation est triviale.
• Le quotient de A par I est un corps commutatif C, que l'on appelle complété de K pour v, et K s'identifie canoniquement à un sous-corps de C. On obtient sur C une valuation qui prolonge v. Le corps K est dense dans C, pour cette valuation sur C.

Par exemple, ou le corps k((T)) peuvent être obtenus par cette construction.