Valeur propre, vecteur propre et espace propre - Définition et Explications

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Valeur propre et recherche mathématique

Les valeurs propres restent un vaste sujet de recherche dans les mathématiques d'aujourd'hui. Ce sujet couvre aussi bien la recherche fondamentale qu'appliquée et la dimension finie comme le cas général en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou...) infinie.

Recherche fondamentale (La recherche fondamentale regroupe les travaux de recherche scientifique n'ayant pas de finalité économique déterminée au moment des travaux. On oppose en général la recherche fondamentale à la...) et dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) finie

Si dans le cas des corps relativement connus comme les nombres réels ou complexes, la problématique des valeurs propres est maintenant largement connue, il n'en est pas de même pour les corps plus ésotériques ou les anneaux. Dans le cas des corps finis, cette approche offre un regard particulier par exemple sur la cryptologie. D'autres corps comme les p-adiques sont encore largement mal connus. Une approche linéaire, avec l'analyse des valeurs propres représente un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions entreprises, par...) supplémentaire pour l'analyse par exemple de l'anneau des polynômes.

Recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension...) appliquée et dimension finie

L'analyse des valeurs propres et des vecteurs propres représente la meilleure méthode pour la mise au point (Graphie) d'algorithmique (L'algorithmique est l’ensemble des règles et des techniques qui sont impliquées dans la définition et la conception d'algorithmes, c'est à dire de processus systématiques de...) rapide de résolution d'équations linéaires. Des critères comme la vitesse (On distingue :) de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) devient alors le premier sujet de recherche. Une technique particulièrement employée consiste à éloigner les valeurs propres pour accélérer la recherche des solutions. Ce secteur, même s'il n'est pas dominé par des mathématiciens au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) théorique du terme, puisqu'il est plus souvent le domaine des mathématiques de l'ingénieur (« Le métier de base de l'ingénieur consiste à résoudre des problèmes de nature technologique, concrets et souvent complexes, liés à la conception, à la réalisation et à la mise en œuvre de produits, de...) ou de l'informaticien (On nommait dans les années 1960-1980 informaticien ou informaticienne une personne exerçant un métier dans l'informatique. La variété et le peu de rapport des métiers en question a...), est toujours en pleine effervescence. Il rejoint les travaux sur l'anneau des nombres di-adiques (représentation binaire finie) et s'ouvre sur une branche des mathématiques difficile. La cryptologie appliquée utilise aussi les représentations linéaires pour offrir des codes multi-clé efficaces et souples. Ici, les corps sont rarement les réels ou les complexes, mais plutôt des corps finis.

Recherche théorique dans le cas général

Ce domaine est celui qui rassemble le plus de mathématiciens théoriques. L'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires...) est un problème encore largement ouvert dans le cas de la dimension infinie. La voie théorique la plus analysée à l'heure (L’heure est une unité de mesure du temps. Le mot désigne aussi la grandeur elle-même, l'instant (l'« heure qu'il est »), y compris en...) actuelle est celle de l'axiomatisation, qui s'incarne dans la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types...) algèbrique. Cette approche considère les opérateurs comme éléments d'une algèbre abstraite (L'algèbre abstraite, ou algèbre générale, ou encore algèbre universelle est la branche des mathématiques qui porte principalement sur l'étude des...), bénéficiant d'un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de propriétés. L'objectif est la compréhension de cette algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon...) pour l'appliquer ensuite à des cas particuliers d'algèbre d'opérateurs. Cette approche est particulièrement féconde en mathématiques appliquées à la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la nature ;...), comme par exemple les travaux du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de compétences et de...) russe Maxim Kontsevich (Maxim Kontsevich (en russe ?????? ????????)[1] est un mathématicien russe, né le 25 août 1964 à Khimki (ancienne URSS).) (Médaille Fields 1998), dont les résultats les plus célèbres traitent des déformations quantiques sur les Variétés de Poisson à l'aide d'une hiérarchie infinie de structures algèbriques généralisant la notion d'algèbre opérant sur un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.).

La géométrie algèbrique est particulièrement féconde dans le domaine de l'arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la « science...). Le mathématicien Laurent Lafforgue a reçu la Médaille Fields (La médaille Fields est la plus prestigieuse récompense pour la reconnaissance de travaux en mathématiques, souvent comparée au Prix Nobel. Son but est d'apporter un soutien aux mathématiciens jeunes qui ont...) en 2002 pour ses travaux dans cette branche sur les conjectures de Langlands.

Théorie spectrale

Positionnement (On peut définir le positionnement comme un choix stratégique qui cherche à donner à une offre (produit, marque ou enseigne) une position crédible, différente et attractive au sein d’un marché et dans...) du problème

L'analyse du cas de la dimension finie montre qu'une connaissance des valeurs propres et des espaces de Jordan associés permet une compréhension profonde des endomorphismes. Il est donc naturel d'essayer d'étendre cette approche aux cas d'espaces vectoriels de dimensions non finies.

Ce besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois...) de généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les...) apparaît naturellement en mathématiques. Les espaces deviennent des espaces de fonctions et les endomorphismes les opérateurs de différentiations, comme les dérivées les gradients ou les laplaciens. L'exemple de la corde vibrante est caractéristique d'une approche de cette nature. Dans ce contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu...) le vocabulaire évolue, on ne parle plus d'endomorphisme mais d'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :), on utilise le terme de fonction propre pour désigner un vecteur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se...) et une telle démarche prend le nom de théorie spectrale. Elle est une branche de ce qui s'appelle l'analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été...).

L'approche spectrale est séduisante à bien des aspects. Analyser non plus les propriétés analytiques des éventuelles solutions, mais la nature même de l'espace géométrique est une approche élégante. Elle offre de nouveaux outils, comme des bases ou des distances pour résoudre des difficultés souvent complexes. Dans le cas de la dimension finie, cette approche apporte des théorèmes puissants, à la fois théoriques et algorithmiques. Joseph Fourier, montre qu'il en est parfois de même dans des cas plus généraux, avec l'étude de l'équation de la chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent : Quelle chaleur !) ou des cordes vibrantes. David Hilbert (David Hilbert (23 janvier 1862 à Königsberg en Prusse-Orientale – 14 février 1943 à Göttingen, Allemagne) est un mathématicien...) confirme la pertinence de la démarche en ouvrant la voie à une théorie spectrale générale.

Difficultés de l'approche

Les propriétés géométriques des espaces fonctionnels sont hélas largement plus faibles que le cas de dimension finie. La première différence est la présence d'une base au sens algébrique du terme. En général, il n'est pas possible de construire une famille libre et génératrice de l'espace par combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire finie. Il existe des contre-exemples comme l'espace vectoriel des polynômes. Mais cet espace est trop étroit pour contenir beaucoup de solutions des équations que l'on cherche à résoudre. Par exemple, la position initiale d'une corde de guitare pincée par le musicien a fort peu de chance d'être dans l'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) des polynômes trigonométriques.

On peut alors généraliser ce type d'espace par une bonne complétude. On trouvera alors l'espace des séries trigonométriques ou celui des séries entières. Les résultats sont alors de bons candidats pour établir les fondements d'une théorie spectrale. Pour comprendre la géométrie de tels espaces, la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) devient essentielle. En effet, par construction de l'espace, les solutions apparaissent comme limites de suites. Cependant la topologie cache bien des surprises pour les espaces fonctionnels.

En dimension finie, toutes les normes définissent la même topologie. En fait, il n'existe véritablement qu'une topologie intéressante pour une analyse en vecteurs propres. En dimension infinie, ce n'est plus le cas, la topologie faible par exemple ne possède même plus de distance associée, et parler de complétude n'est plus possible.

La compacité est toujours vraie en dimension finie pour les fermés bornés. Le théorème de Riesz (Au sein de la théorie des espaces vectoriels normés, le théorème de Riesz établit un lien entre la notion de compacité et celle de dimension.) nous indique que ce n'est jamais le cas si la dimension n'est pas finie. Il devient illusoire de vouloir extraire des sous-suites convergentes pour trouver des vecteurs propres dans le cas général.

Un endomorphisme est toujours continu en dimension finie. Ce n'est plus le cas pour les opérateurs linéaires des espaces fonctionnels. La dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une...), par exemple, ne possède pas cette propriété. Pour s'en assurer, il suffit de considérer la suite des monômes (x^n)\;. Sur l'intervalle [0,1], elle est bornée. Or l'image de la suite par la fonction dérivée ne possède plus cette propriété. Dans le cas général, un opérateur linéaire est continu si et seulement si l'image de la boule unité (En topologie, une boule est un sous-ensemble particulier d'un espace métrique. Le nom évoque, à juste titre, un objet familier dans et plus généralement dans muni...) est bornée, c'est la raison pour laquelle on parle plus souvent d'opérateur borné et que d'opérateur linéaire continu.

Spectre et ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) de valeurs propres

En dimension finie, si un endomorphisme a est surjectif alors il est bijectif. Ainsi, l'application a - λI est une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel...) si et seulement si λ n'est pas une valeur propre (En mathématiques, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se...). Ce n'est pas vrai dans le cas général. Considérons par exemple E l'espace des fonctions infiniment dérivables sur l'intervalle [0,1], et considérons l'opérateur A (Amofrãn,cf plus bas ), qui, à la fonction f(x), associe la fonction xf(x). Il est relativement simple de constater qu'il est borné et ne possède pas de valeur propre. Considérons l'opérateur A - λI qui, à la fonction f(x), associe la fonction f(x)(x-λ). Si λ est compris entre 0 et 1, alors il n'est pas surjectif car son image ne contient pas de fonctions dont l'image de λ est différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie...) de 0. On parle alors de spectre pour rendre compte de ce phénomène. Le spectre contient toujours l'ensemble des valeurs propres, et en dimension finie, ces deux notions coïncident. Dans notre exemple le spectre est l'intervalle [0,1] et l'ensemble des valeurs propres est vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.).

La définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) précise du spectre est la suivante: Soit E un espace de Banach (Un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie déduite de sa distance est compatible avec sa structure...) et O un opérateur linéaire, alors le spectre est l'ensemble des scalaires λ tel que l'opérateur O - λI n'admet pas de réciproque (La réciproque est une relation d'implication.). Selon le contexte, il est possible d'ajouter la continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à...) de l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1,...) comme condition.

Cas de la dimension quelconque: Un espace vectoriel E sur K est dit K_variant si l'on peut trouver un endomorphisme (alors appelé K_variant pour E) ne laissant stable aucun sous espace fini et ne possédant, a fortiori, aucun vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur,...) propre. Un tel espace est aussi communément appelé Espace de Baire-Amofrãn.

Remarque : Un espace qui n'est pas K_variant est dit K_invariant . Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) espace de dimension finie sur un corps algèbriquement clos est K_invariant (le polynôme caractéristique (En algèbre linéaire, à toute matrice carrée ou à tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est associé un polynôme appelé polynôme caractéristique. Il renferme d'importantes informations sur la matrice ou sur...) est scindé sur K!). R[X] en revanche est rendu (Le rendu est un processus informatique calculant l'image 2D (équivalent d'une photographie) d'une scène créée dans un logiciel de modélisation 3D comportant à la fois des objets et des sources de lumière...) K_variant par l'endomorphisme canonique d'Amofrãn P->X*P .

On appelle famille de K_variance ou famille de Brenef une famille libre d'endomorphismes K_variant pour E. Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à...) de Baire-Brenef énonce alors que E est complet si la boule fermée pour la topologie induite sur l'espace de variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ) (engendré par une famille de Brenef) est compacte. En effet, le Lemme de Chabran nous assure que l'espace de variance est de dimension dénombrable, et ce quel que soit le corps.

Un espace K_invariant est dit totalement invariant sur K si le spectre de tout endomorphisme K_invariant pour E est un convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par...) fermé de K.

Décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie, dégénèrent sous...) spectrale des opérateurs autoadjoints compacts

En dimension finie, le paragraphe sur l'algèbre bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: : ) montre qu'il existe un cas ou il est possible de trouver une base de vecteurs propres sans utiliser les polynômes d'endomorphismes. C'est un bon cadre pour une généralisation car la notion de polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce qu'ils donnent localement une valeur...) s'applique mal dans le cas des espaces fonctionnels. L'espace est alors enrichi d'une distance, euclidienne ou hermitienne et l'endomorphisme possède toujours la bonne symétrie que l'on appelle autoadjointe. Dans ce contexte, la boule unité est transformée en un ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de point à...) représenté dans la figure 5. Les axes principaux de cet ellipsoïde sont les vecteurs propres et les longueurs de ces demi-axes sont les valeurs propres. Cette approche géométrique guide David Hilbert pour établir un résultat important de théorie spectrale, dans le cas de la dimension infinie.

L'espace vectoriel possède une distance euclidienne ou hermitienne. Dans le cas général, il est nécessaire d'ajouter la complétude et la séparation (D'une manière générale, le mot séparation désigne une action consistant à séparer quelque chose ou son résultat. Plus particulièrement il est employé dans plusieurs domaines :). Un tel espace s'appelle un Hilbert séparable. Les séries trigonométriques ou les fonctions définies sur un segment dont le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle et un...) est intégrable correspondent à ce type d'espace. C'est aussi le cadre utilisé dans ce paragraphe.

L'opérateur possède une bonne symétrie. Elle reste la même que celle de la dimension finie, Il est ici autoadjoint.

Enfin l'opérateur dispose d'une bonne propriété de continuité. Le fait qu'il soit borné ne suffit plus. Il est compact, cela signifie que l'image de la boule unité est compacte. Une des conséquences est qu'il n'est plus inversible.

Dans ce contexte, alors des résultats analogues à la dimension finie sont établis. Citons par exemple:

  • Dans un Hilbert, un opérateur autoadjoint compact possède un spectre compact contenant toujours la valeur 0.
  • Dans un Hilbert, le seul opérateur autoadjoint compact ayant pour spectre {0} est l'opérateur nul.
  • Soit un opérateur autoadjoint compact dans un Hilbert séparable. Alors il existe une base hilbertienne de vecteurs propres pour l'opérateur.

Application à la chimie quantique (La chimie quantique est l'application de la mécanique quantique aux problèmes de la chimie.)

Article détaillé : Équation de Schrödinger

Fig. 7. Orbites stables d'un électron (L'électron est une particule élémentaire de la famille des leptons, et possèdant une charge électrique élémentaire de signe négatif. C'est un des composants de l'atome.) de l'atome (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se...) d'hydrogène (L'hydrogène est un élément chimique de symbole H et de numéro atomique 1.).

La théorie spectrale constitue la base mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) de la mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de décrire les phénomènes fondamentaux à l'œuvre dans les systèmes physiques, plus particulièrement à...). Les vecteurs propres trouvent donc d'innombrables applications dans ce domaine. Par exemple en chimie (La chimie est une science de la nature divisée en plusieurs spécialités, à l'instar de la physique et de la biologie avec lesquelles elle partage des espaces...), l'étude de l'atome (Un atome (grec ancien ἄτομος [atomos], « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une autre. La...) d'hydrogène montre que les états stables des électrons sont modélisés par des vecteurs propres dont les valeurs propres correspondent à des états d'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.).

Dans le contexte de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission,...) quantique, l'unique solution pour décrire la position d'un électron, dans notre exemple celui de l'hydrogène, est l'utilisation d'une fonction d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de...) complexe. Le carré du module de cette fonction d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans...) peut alors s'interpréter comme la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques,...) de présence de l'électron en un point donné de l'espace. L'espace des fonctions d'ondes est un Hilbert séparable, celui des fonctions de notre espace géométrique dans les complexes dont le carré du module est intégrable.

L'équation qui régit cette fonction d'onde (que l'on note ici ΨE) est une version simplifiée de l'équation de Schrödinger :

H\Psi_E = E\Psi_E\;

H est un opérateur linéaire appelé hamiltonien. C'est un opérateur différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) d'ordre 2. Il correspond à une transformation de Legendre d'un lagrangien (Le lagrangien d'un système dynamique, dont le nom vient de Joseph Louis Lagrange, est une fonction des variables dynamiques qui décrit de manière concise les équations du mouvement du système. Ces dernières s'obtiennent par...). On peut démontrer qu'un tel opérateur est autoadjoint.

E est un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.), qui représente le niveau d'énergie de l'électron.

ΨE est l'inconnue de l'équation. C'est donc par définition une fonction propre, elle correspond alors à ce que les chimistes appellent une orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) stable. Les électrons ne peuvent que sauter d'une orbite stable à une.

L'équation d'onde qui régit l'électron correspond donc au cadre de la théorie spectrale. Les solutions sont les fonctions propres d'un opérateur linéaire. La géométrie correspond à un contexte favorable, l'espace est un Hilbert séparable et l'opérateur est autoadjoint. On peut par exemple en déduire directement que l'énergie est toujours un réel. En revanche les propriétés de continuité ne sont pas favorables. Par exemple, l'opérateur n'est pas compact. Cette absence de bonne continuité rend la recherche d'orbites stables difficile.

Le cas de l'atome d'hydrogène est un peu particulier. L'opérateur associé correspond à un cas relativement simple. On peut alors approximer aussi précisément qu'on le souhaite les fonctions propres. La figure 7 représente les premières orbites stables de l'atome d'hydrogène. La couleur (La couleur est la perception subjective qu'a l'œil d'une ou plusieurs fréquences d'ondes lumineuses, avec une (ou des) amplitude(s) donnée(s).) représente le carré du module de l'orbite, plus elle est claire, plus la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme...) est forte. Le centre représente le noyau, ici un proton (Le proton est une particule subatomique portant une charge électrique élémentaire positive.).

Cette approche ne se limite pas à l'atome d'hydrogène, on peut l'utiliser pour d'autres atomes et même des molécules. C'est le travail qu'a réalisé Linus Pauling (Linus Carl Pauling (28 février 1901 à Portland, Oregon, États-Unis - 19 août 1994 à Big Sur, Californie) était un chimiste et physicien américain. Il fut l'un des...) dans son livre The Nature of the Chemical Bond sur la nature des liaisons chimiques. Le prix Nobel de Chimie (Le prix Nobel de chimie est décerné une fois l'an, depuis 1901, par l'Académie royale des sciences de Suède à un scientifique...), obtenu principalement grâce à cette approche est l'un des plus important dans la chimie du XXe siècle. La combinaison linéaire des orbites stables permet par exemple, dans le cas des molécules, de mieux décrire des composés insaturés de l'éthylène.

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