Valeur d'adhérence - Définition

Cas général

La notion de valeur d'adhérence d'une suite dans un espace topologique généralise celle de valeur d'adhérence d'une suite réelle sous sa formulation , laquelle signifiait, dit informellement, que chaque intervalle ]a-ε,a+ε[ contient "une infinité de termes" de la suite.

Définitions

Soient E un espace topologique, une suite d'éléments de E et a un élément de E. On dit que a est une valeur d'adhérence de la suite (u_n) si tout voisinage de a contient une infinité de termes de la suite. Ceci équivaut à dire que a est dans l'adhérence de chacun des ensembles . Intuitivement, la suite repasse aussi près que l'on veut de la valeur d'adhérence pour des indices arbitrairement grands.

Il suffit pour cela qu'il existe une sous-suite de (u_n) qui converge vers a. Cette dernière condition est équivalente à la définition si tout point de E admet une base dénombrable de voisinages. C'est le cas par exemple si E est un espace métrique.

Plus généralement, si f est une fonction d'un espace topologique E dans un espace topologique F, on dit que y est une valeur d'adhérence de f en un point x de E si y est adhérent aux images par f de tous les voisinages de x.

Exemples

• Considérons l'ensemble E égal à la réunion de et d'un singleton { ω }. Munissons E de la topologie séparée suivante. Les points (n,m) de sont isolés et les voisinages de ω sont les parties U de E contenant ω et vérifiant la condition :

il existe N tel que, pour tout n supérieur ou égal à N, U contienne tous les points de sauf un nombre fini.

Considérons la suite parcourant par diagonales descendantes successives :

Cette suite admet ω comme valeur d'adhérence, mais aucune sous-suite ne converge vers ω.

• Les valeurs d'adhérence au point 0 de la fonction numérique sont tous les réels compris entre -1 et 1.