Trigonométrie - Définition

Quelques problèmes célèbres

• La quadrature du cercle : construire un carré de même aire qu'un cercle donné à l'aide d'une règle et d'un compas, ce problème est insoluble.

• L'approximation sin A = A - k A³ avec k = 1/6 quand A est petit (en radians !) peut se déduire de la formule sin(3A) = 3.sinA -4 sin³A : les termes en A³ donnent : -k27 = -3k -4 , CQFD.

• La flèche d'une corde AB sous tendant l'arc AOB = 2 α : soit I milieu de AB et CD le diamètre passant par I : ID = flèche telle que f( 2R-f) = (R sin α)²

• Aire de l'onglet : S = R²[α - sin(2.α)/2] quand alpha est tout petit, on compare cette aire à celle de la parabole osculatrice 1/3 f.AB (théorème d'Archimède) : la différence est d'ordre supérieur à 3.

• Formule de Machin (1706) : soit A l'arc dont la tangente est 1/5 et B celui dont l'arc est 1/239 : alors 4A -B = π/4, ce qui donne une bonne approximation de Pi, "assez rapidement". Cette formule se généralise.

• Polygones réguliers constructibles : l'heptagone et le nonagone sont impossibles, mais le polygone à 17 côtés (heptadécagone) est constructible (théorème de Gauss à 19 ans : 1796) ; par contre on peut construire par pliage (cf origami) l'heptagone et le nonagone. On prouve néanmoins aisément que si A = 360°/7, alors et . Des formules semblables existent pour le nonagone.

• algorithme CORDIC de Briggs et redécouvert par Volker : ou comment votre calculette va-t-elle aussi vite ?