Tribu (mathématiques) - Définition

Tribu engendrée par un ensemble de parties

Si est un ensemble arbitraire de parties de X, il existe alors une plus petite tribu (au sens de l'inclusion) contenant , notée et appelée la tribu engendrée par .

On prouve l'existence de en la définissant comme l'intersection de toutes les tribus sur X qui contiennent (cette intersection a un sens, puisque au moins une telle tribu existe, à savoir la tribu discrète).

Exemples :

• Soit et , alors . Pour X = {a,b,c,d} et A = {a}, on retrouve l'exemple donné plus haut.

• Soit l'ensemble des singletons de l'espace de référence . La tribu est égale à ou fini ou dénombrable  : on retrouve là aussi un exemple déjà mentionné.

On dispose d'un procédé un peu plus « constructif » de production de , par application itérée à partir des éléments de des opérations d'intersection, de réunion dénombrable et de passage au complémentaire. La « construction » est toutefois techniquement un peu subtile, car il ne suffit pas de répéter cette itération pendant une suite dénombrable d'étapes indexée par  : on doit faire appel à une technique de récurrence transfinie.

Cardinalité des tribus

Pour , on définit l'atome de x relativement à la tribu par :

En utilisant seulement la stabilité de par passage au complémentaire, on vérifie que les atomes constituent une partition de X. On voit également que tout élément de est réunion d'atomes.

Ce concept permet notamment de prouver la proposition suivante :

Démonstration : Supposons infinie la tribu sur l'ensemble X. Comme tout élément de est réunion d'atomes, les atomes sont eux aussi en nombre infini. Considérons alors une suite d'atomes distincts (donc deux à deux disjoints).

Pour tous indices , la définition de C(x_i) et le fait que , entraînent l'existence d'un tel que :

mais .

On définit alors une application en posant, pour  :

.

En utilisant (1), on vérifie que , on conclut que Φ est injective.

CQFD

La conjonction de ce résultat et de la construction d'une tribu engendrée par récurrence transfinie permet de prouver un résultat plus précis lorsqu'on suppose la tribu dénombrablement engendrée :

Constructions de tribus

Tribu image réciproque

Comme indiqué un peu plus bas, ceci permet notamment de restreindre une tribu à un sous-ensemble de son univers X. Le lemme de transport est un résultat simple mais utile pour manipuler une image réciproque de tribu définie par une partie génératrice, par exemple une tribu borélienne.

Lorsque plusieurs fonctions partent de — typiquement en probabilités, où plusieurs variables aléatoires sont simultanément considérées au départ d'un même espace — il est facile de généraliser la tribu image réciproque : on parle de tribu engendrée par une famille d'applications (qui sont souvent des variables aléatoires). On trouvera cette définition à l'article « tribu engendrée ».

Tribu image

Tribu trace

La vérification directe est immédiate, mais on peut aussi s'apercevoir que c'est un cas particulier de tribu image réciproque, en l'espèce sous l'injection canonique de X' dans X.

Tribu produit

La définition de la tribu produit est le préalable à celle de la mesure produit dont l'usage permet de généraliser à des espaces abstraits les intégrales multiples.

Le concept se généralise à un produit d'une famille infinie d'espaces mesurables.

Tribu complétée

Le résultat de la complétion dépend de μ, puisque la notion de partie négligeable n'a de sens que vis-à-vis d'une mesure bien précisée.

La construction généralise dans un cadre abstrait la situation de la tribu de Lebesgue relativement à la tribu borélienne de (sous la mesure de Lebesgue).