Tribu engendrée - Définition

Exemples

• Soit et , alors .

• Soit l'ensemble des singletons de l'univers . La tribu est égale à ou dénombrable .

• Dans un espace topologique, la tribu engendrée par les ouverts (ou, ce qui revient au même, par les fermés) est appelée la tribu borélienne.

• Étant donné un espace mesuré , la tribu engendrée par les éléments de et les ensembles négligeables pour μ est appelée la tribu complétée de . Elle est évoquée à l'article « complétion d'une mesure ».

Extensions de fonctions d'ensembles

Dans les problèmes évoqués dans cette section, on dispose d'informations sur une fonction μ définie sur une classe de parties d'un ensemble X, et on souhaite les propager à toute la tribu engendrée .

Problèmes d'unicité

Dans cette problématique on sait que μ est la restriction d'une mesure ; on veut s'assurer disposer avec cette restriction d'assez d'informations au sujet pour caractériser complètement μ.

Il s'avère que la connaissance d'une mesure sur une partie génératrice d'une tribu ne permet pas en général sa reconstitution : deux mesures peuvent coïncider sur une classe sans pour autant coïncider sur toute la tribu .

Exemples :

• Sur Ω = {a} singleton, on donne . La tribu engendrée par est tout entier ; au moins deux prolongements de μ sont-ils envisageables : peut-être est-elle nulle, ou peut-être est-elle l'unique mesure de probabilité sur Ω.

• Même si on sait que la mesure à reconstituer est une mesure de probabilité sur la tribu engendrée, sa reconstitution n'est pas forcément possible. Soit Ω = {aa,ab,ba,bb} un ensemble à quatre éléments. L'ensemble de parties {{aa,ab},{aa,ba}} est manifestement générateur de la tribu discrète. Pourtant si on sait qu'une mesure de probabilité vérifie les deux conditions P({aa,ab}) = 1 / 2 et P({aa,ba}) = 1 / 2, deux reconstitutions au moins en sont-elles envisageables : peut-être tous les tirages sont-ils équiprobables, ou peut-être seuls les tirages aa et bb sont-ils possibles avec équiprobabilité.

Pour une mesure de probabilité, il existe toutefois une condition suffisante simple garantissant que ses valeurs sur la caractérisent : il suffit que soit stable par intersection finie (en jargon de théorie de la mesure, on dit que c'est un π-système). Précisément, on a :

Lemme d'unicité des mesures de probabilité —  Deux mesures de probabilité et définies sur l'espace probabilisable et coincidant sur un ensemble d'événements stable par intersection (finie) coïncident aussi sur la tribu engendrée par  :

La démonstration est immédiate à partir d'un lemme, dit « lemme de classe monotone » ou « théorème lambda-pi de Dynkin » :

Un exemple positif d'utilisation des résultats de cette section est la caractérisation des mesures de probabilité par leur fonction de répartition, l'ensemble des intervalles de la forme étant générateur de la tribu borélienne et stable par intersection.

Problèmes d'existence

Ici le problème est de généraliser dans un cadre abstrait les idées qui ont abouti à la définition de la mesure de Lebesgue sur la droite réelle : étant donné une classe d'ensembles sur lesquels une définition de la mesure paraît très naturelle (les rectangles dans le cadre de la mesure de Lebesgue dans le plan), on dispose sur cette classe d'une fonction d'ensembles μ raisonnable (l'aire). Quelles conditions seront-elles suffisantes pour que cette fonction d'ensembles puisse être prolongée à toute la tribu engendrée par , y compris les ensembles biscornus qu'elle peut contenir ?

Une réponse est apportée par le théorème d'extension de Carathéodory. En voici un énoncé possible (dans cet énoncé, on entend par « mesure » sur un anneau d'ensembles une application de cet anneau vers , σ-additive et prenant au moins une valeur finie) :