Triangulation
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Introduction

En géométrie et trigonométrie, la triangulation est une technique permettant de déterminer la position d'un point en mesurant les angles entre ce point et d'autres points de référence dont la position est connue, et ceci plutôt que de mesurer directement la distance entre les points. Ce point (Graphie) peut être considéré comme étant le troisième sommet d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) dont on connaît deux angles et la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet...) d'un côté.

Mathématiques

En topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).), une triangulation (En géométrie et trigonométrie, la triangulation est une technique permettant de déterminer la position d'un point en mesurant les angles entre...) d'un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces...) X est un complexe simplicial K homéomorphe à X, et un homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque est...) h:KX. La triangulation est utile pour déterminer les propriétés d'un espace topologique.

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types...), une triangulation est une façon de découper une forme géométrique (un plan, un polygone) en une collection de triangles. Un exemple classique est la triangulation de Delaunay (La triangulation de Delaunay d'un ensemble de n points est l'unique triangulation telle qu'un cercle passant par les trois points d'un triangle ne contienne aucun autre point. Cette notion peut...).

La triangulation est aussi le processus qui permet de déterminer une distance en calculant la longueur de l'un des côtés d'un triangle, et en mesurant deux angles de ce triangle. Cette méthode utilise des identités trigonométriques.

Triangulation.png

Six-cent ans avant l'ère chrétienne, Thalès mit au point une méthode pour évaluer la distance d'un bateau (Un bateau est une construction humaine capable de flotter sur l'eau et de s'y déplacer, dirigé ou non par ses occupants. Il répond aux besoins du transport maritime ou fluvial, et permet...) en mer (Le terme de mer recouvre plusieurs réalités.) à la côte. Pour avoir une mesure approximative de cette distance, il plaça deux observateurs A et C sur le rivage éloignés d'une distance b connue. Il demanda à chacun d'entre eux de mesurer l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) que font les droites passant par le bateau B et l'un d'entre eux, et la droite passant par les deux observateurs :

La méthode a un intérêt si nous voulons déterminer de grandes distances ; mais dans ce cas nous devons placer les deux observateurs suffisamment éloignés l'un de l'autre, pour que les mesures d'angle soient plus précises.

Les propriétés souvent utilisées pour la triangulation sont :

  • La somme des angles d'un triangle est égale à π radians (180 degrés).
  • La loi des sinus (En trigonométrie, la loi des sinus est une relation de proportionnalité entre les longueurs des côtés d'un triangle et les sinus des angles respectivement opposés.)
  • Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) d'Al-Kashi
  • Le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est...)

Applications

Triangulation par relevé des directions

La triangulation est utilisée dans divers secteurs, comme la survie, la navigation (La navigation est la science et l'ensemble des techniques qui permettent de :), l'astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques. Elle ne doit pas...), dans l'armement (fusées).

Un navire (Un navire est un bateau destiné à la navigation maritime, c'est-à-dire prévu pour naviguer au-delà de la limite où cessent de s'appliquer les règlements techniques de...) peut ainsi connaître sa position en relevant la direction d'observation (L’observation est l’action de suivi attentif des phénomènes, sans volonté de les modifier, à l’aide de moyens d’enquête et d’étude appropriés. Le plaisir procuré explique la très...) (angle par rapport au Nord) de deux points distants (par exemple un clocher (Un clocher est un élément architectural d'une église, généralement en forme de tour plus ou moins élevée, qui héberge une ou plusieurs cloches.) d'église (L'église peut être :), un phare) ; il lui suffit alors, sur une carte, de tracer les droites passant par les points observés et ayant la direction relevée, l'intersection de ces droites étant la position du navire. Pour lever les imprécisions de mesure, on utilise généralement 3 points de repères, appelés amers. C'est la Navigation par relèvements.

Dans le cas d'ondes électromagnétiques (par exemple des ondes radio), la position peut se déterminer avec une antenne (En radioélectricité, une antenne est un dispositif permettant de rayonner (émetteur) ou de capter (récepteur) les ondes électromagnétiques.) directionnelle (c'est-à-dire une antenne ne captant que les ondes venant d'une direction donnée) ; l'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil à l'équinoxe) et des points cardinaux (nord de la...) pour laquelle le signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. ...) est le plus fort donne la direction de l'émetteur, il suffit alors de faire plusieurs relevés pour avoir la position de l'émetteur (radiogoniométrie). Cette méthode était par exemple utilisée durant l'occupation allemande de la France pour détecter les émetteurs radio pirates.

Position statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut être employé comme :)

On vise deux points, et on relève les directions de visée. Il suffit ensuite de tracer, sur une carte, une droite passant par le point visé et ayant la direction relevée. L'intersection des droites donne la position.

On a deux sommets du triangle (les amers) et la direction des deux côtés ne joignant pas ces sommets (relèvements), ce qui permet de déterminer complètement (Le complètement ou complètement automatique, ou encore par anglicisme complétion ou autocomplétion, est une fonctionnalité informatique permettant à l'utilisateur de...) le triangle.

Si l'on effectue trois relevés, on devrait obtenir un point de concurrence unique des trois droites. Dans la pratique, les imprécisions — sur la visée, sur la lecture de l'angle, sur le tracé de la droite — font que l'on obtiendra un triangle, la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) du triangle donnant une estimation de la précision de la mesure. On peut raisonnablement (si les angles sont à 120° l'un de l'autre) prendre pour position le barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond) de ce triangle, et pour erreur la distance entre ce centre et le point le plus éloigné.

Véhicule (Un véhicule est un engin mobile, qui permet de déplacer des personnes ou des charges d'un point à un autre.) en mouvement

Dans le cas d'un véhicule en mouvement, il faut prendre en compte le déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En...) du véhicule. Il faut pour cela connaître la direction et la vitesse (On distingue :) du véhicule. La direction du mouvement est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par le compas ; dans le cas d'un voilier (Un voilier (ou bateau à voiles, navire à voiles) est un bateau ou navire propulsé par la force du vent. Historiquement, les voiliers ont été le premier moyen de...), la vitesse peut être estimée à partir de la vitesse du vent (Le vent est le mouvement d’une atmosphère, masse de gaz située à la surface d'une planète. Les vents les plus violents connus ont lieu sur Neptune et sur Saturne. Il est essentiel à tous les...) et du courant.

Si la vitesse est lente (La Lente est une rivière de la Toscane.) et que les relevés sont faits de manière proche (cas de la navigation maritime), on peut négliger ce phénomène, par contre, il faut noter l'heure (L'heure est une unité de mesure  :) du relevé.

Navigation par relèvement (Le relèvement est la détermination de l'angle que fait, dans le plan horizontal, la ligne d'un observateur vers un objet avec celle d'une direction de référence fixe. En...) à un amer

La connaissance de ce mouvement permet de faire un relevé avec seulement un amer, par exemple dans le cas d'une navigation par temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) de brouillard (Le brouillard est le phénomène météorologique constitué d’un amas de fines gouttelettes ou de fins cristaux de glace, accompagné de fines...) où seul un lieu caractéristique serait visible par intermittence. On relève alors les directions et les heures du relevé.

On a ainsi un sommet du triangle (l'amer), les directions de deux côtés (les deux relevés), et la direction et la longueur du troisième côté (trajectoire du bateau), ce qui permet de déterminer complètement le triangle.

Voir l'article Navigation par relèvements > Positionnement avec un seul amer

Triangulation par relevé des distances

On peut relever une position en estimant la distance par rapport à trois points. Si l'on prend deux points de référence, on a deux sommets et les longueurs des côtés ne joignant pas ces sommets, ce qui définit deux triangles ; le point du relevé se trouve au troisième sommet de l'un de ces triangles. L'adjonction d'un troisième point de référence permet de déterminer lequel des deux sommets est le bon.

Utilisation de l'intensité d'un signal

Avec une onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible de propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie...) électromagnétique, on peut utiliser l'intensité du signal collectée par une antenne non directionnelle. Si le milieu de propagation est homogène et isotrope, l'intensité est inversement proportionnelle au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un...) de la distance (l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) se répartit sur une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les...) grandissante) et donc diminue avec l'augmentation de la distance source-récepteur. L'intensité permet donc d'estimer la distance, et donc de situer l'émetteur sur un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...) centré sur le récepteur. Un deuxième récepteur permet de tracer un second cercle, l'émetteur se trouve donc à l'intersection des deux cercles ; un troisième récepteur permet de déterminer lequel des deux points d'intersection est le bon (ou bien la logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche l'étude...), un navire ne peut pas se trouver sur les terres). Cette méthode est aussi utilisée en sismologie pour connaître la position de l'épicentre d'un séisme ; on considère alors l'intersection de sphères (on n'a plus la contrainte d'un émetteur situé en surface), et il faut corriger les calculs de l'hétérogénéité du milieu (variation de l'indice de réfraction (L'indice de réfraction provient du phénomène de réfraction qui désigne le changement de direction de la lumière au passage d'un milieu à un autre. La notion d'indice a d'abord été introduite...) en fonction de la profondeur, réflexion et réfraction (En physique des ondes — notamment en optique, acoustique et sismologie — le phénomène de réfraction est la déviation d'une onde lorsque la vitesse...) sur le manteau...).

Si l'on ne connaît pas l'intensité de l'émetteur ni le rendement des récepteurs, il faut se trouver les positions pour lesquelles le signal est reçu avec la même intensité ; l'émetteur se trouve alors sur la médiatrice (En géométrie plane, la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment. Cet ensemble est la...) du segment constitué par les deux récepteurs. On peut localiser la source avec un deuxième relevé, à l'intersection des deux médiatrices. La méthode des médiatrices, légèrement modifiée, est utilisée en sauvetage-déblaiement pour localiser des victimes ensevelies avec un géostéréophone.

Utilisation de la vitesse de propagation d'un signal

Si l'on a des événements émettant un signal, alors en constatant le décalage dans l'arrivée des signaux, on peut déterminer la différence de distance entre les événements et les récepteurs, à condition de connaître la vitesse de propagation du signal.

Si le récepteur est lui-même synchronisé avec les émetteurs, on peut alors déterminer directement le temps de trajet et donc la distance entre émetteurs et récepteur.

Surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique,...) des lieux possible de l'hypocentre déterminé avec deux stations sismographiques distantes

Par exemple, pour localiser un séisme, on a un événement unique générant le signal, le séisme, et plusieurs stations réceptrices synchronisées, les sismographes. L'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle transporte de l'énergie sans transporter de matière. Une onde...) sismique arrive à des moments différents aux sismographes. Le foyer du séisme (hypocentre) est à une distance di du sismographe i.

Le foyer et deux sismographes forment un triangle ; on connaît deux sommets S1 et S2 du triangle (les sismographes), de coordonnées (x1,y1,z1) et (x2,y2,z2), et la différence de longueur D entre les deux côtés ne joignant pas ces sommets. Le troisième sommet du triangle est donc sur une surface vérifiant

d(M,S1) − d(M,S2) = D

soit

\sqrt{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 + (z-z_1)^2} - \sqrt{(x-x_2)^2 + (y-y_2)^2 + (z-z_2)^2} = D
Positions possibles de l'hypocentre d'un séisme en fonction du délais d'arrivée des ondes à deux stations sismographiques distantes

qui est l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) d'un hyperboloïde (En mathématiques, un hyperboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de...). Il faut suffisamment de sismographes pour définir trois surface, le point de concurrence de ces surfaces donnant le foyer du séisme.

On a plusieurs types d'ondes sismiques voyageant à des vitesses différentes, ce qui permet de faire plusieurs déterminations. Toutefois, le problème est rendu (Le rendu est un processus informatique calculant l'image 2D (équivalent d'une photographie) d'une scène créée dans un logiciel de modélisation 3D comportant...) complexe car :

  • les ondes ne voyagent pas en ligne droite : la vitesse de propagation dépend de la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) donc de la profondeur sous le sol, on a un phénomène de réfraction avec variation continue d'indice ;
  • il y a des discontinuités, les ondes subissent donc des réflexions ;
  • les ondes de cisaillement (type S) ne voyagent pas dans le liquide (La phase liquide est un état de la matière. Sous cette forme, la matière est facilement déformable mais difficilement compressible.), donc ne peuvent pas passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) par le noyau terrestre.

Voir l'article Mesure en sismologie.

On peut également localiser d'autres événements comme par exemple une forte explosion (Une explosion est la transformation rapide d'une matière en une autre matière ayant un volume plus grand, généralement sous forme de gaz. Plus cette transformation s'effectue rapidement, plus la matière résultante se...) (essai nucléaire (Le terme d'énergie nucléaire recouvre deux sens selon le contexte :), catastrophe (Une catastrophe est un événement brutal, d'origine naturelle ou humaine, ayant généralement la mort et la destruction à grande échelle pour conséquence.) industrielle de grande ampleur comme la catastrophe de l'usine AZF...).

Pour la navigation par satellite (Satellite peut faire référence à :) (système type GPS), on a plusieurs émetteurs synchronisés et un récepteur unique à l'endroit à localiser.

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