Triangle - Définition

Éléments remarquables du triangle

Remarque : les noms de hauteurs, médianes, médiatrices ou bissectrices désignent non seulement les droites indiquées ci-dessous, mais aussi les segments de ces droites intérieurs au triangle.

Médianes et centre de gravité

On appelle médiane d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et par le milieu du côté opposé à ce sommet.

Chacune des trois médianes divise le triangle en deux triangles d'aires égales.

Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection G est nommé centre de gravité du triangle. Si le triangle était une plaque solide homogène, on pourrait le faire tenir en équilibre sur une pointe en le posant exactement sur ce point G .

Le centre de gravité du triangle est aussi l'isobarycentre de ses sommets A, B et C, défini par la relation vectorielle :

.

Si I désigne le milieu du côté [BC] on a la relation vectorielle :

.

En effet, si I est l'isobarycentre de B et de C pondérés par des masses unité, alors par associativité G est le barycentre de I pondéré d'une masse 2 et de A pondéré d'une masse 1.

Cette relation s'applique également aux deux autres sommets du triangle vis-à-vis du milieu de leur côté opposé.

Si I , J et K désignent respectivement les milieux des côtés [BC] , [AC] et [AB], alors le triangle IJK est appelé triangle médian du triangle ABC .

Médiatrices et cercle circonscrit

On appelle médiatrice d'un triangle chacune des médiatrices de ses côtés [AB], [AC] et [BC].

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point Ω équidistant des trois sommets. Le cercle de centre Ω et de rayon ΩA passe par chacun des trois sommets du triangle : c'est le cercle circonscrit au triangle. Tout triangle est donc un polygone inscriptible.

Remarques :

• Un triangle est obtusangle (ou ambligone) si et seulement si les médiatrices se coupent à l'extérieur du triangle
• Un triangle est acutangle (ou oxygone) si et seulement si les médiatrices se coupent à l'intérieur du triangle

Propriété :

• ABC est un triangle rectangle en A si et seulement si le centre de son cercle circonscrit est le milieu de [BC].

Bissectrices et cercle inscrit

Les bissectrices d'un triangle sont les trois bissectrices intérieures de ses angles.

Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un point O. Le cercle inscrit au triangle est l'unique cercle tangent aux trois côtés du triangle et tout entier inclus dans le triangle. Il a pour centre le point O qui est donc le centre du cercle inscrit au triangle.

Hauteurs et orthocentre

On appelle hauteur d'un triangle chacune des trois droites passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. L'intersection de la hauteur et du côté opposé s'appelle « pied » de la hauteur. Ces 3 hauteurs se coupent en un point unique H appelé orthocentre du triangle.

Remarques :

• Un triangle est rectangle si et seulement si son orthocentre est un des sommets du triangle
• Un triangle est obtusangle (ou ambligone) si et seulement si son orthocentre est à l'extérieur du triangle
• Un triangle est acutangle (ou oxygone) si et seulement si son orthocentre est à l'intérieur du triangle

• Un triangle dont les sommets sont trois des quatre points A , B , C et H admet le quatrième de ces points comme orthocentre. On dit que les quatre points forment un groupe orthocentrique.

Droite et cercle d'Euler

Les trois points H, G et Ω sont alignés sur une droite appelée droite d'Euler du triangle et vérifient la relation d'Euler :

Par ailleurs les milieux des trois côtés, les trois pieds des hauteurs et les milieux des segments [AH], [BH] et [CH] sont sur un même cercle dénommé cercle d'Euler ou cercle des neufs points du triangle.

Droite et cercle d'Euler d'un triangle.