Torseur - Définition

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- Introduction - Définition - Propriétés des torseurs - Exemples - Principe fondamental de la dynamique - Torseurs couramment utilisés en mécanique - Autre acception - Exemple d'utilisation

Principe fondamental de la dynamique

En mécanique du solide, le principe fondamental de la dynamique (PFD) est généralisé pour décrire le mouvement de tous les points d'un solide (ou d'un ensemble de solides), à travers le concept des couples qui peuvent agir sur un solide mais n'ont pas de contrepartie en mécanique du point. Le PFD s'énonce ainsi :

il existe un repère galiléen, tel qu’à tout instant, le torseur dynamique du solide dans son mouvement par rapport à ce repère est égal au torseur des forces extérieures agissant sur le solide.

Dans le cas particulier du point matériel (en assimilant le solide à sa masse rapportée en son centre d'inertie), le PFD se réduit à l'égalité des résultantes de ces torseurs, soit le principe fondamental de la dynamique de translation.

Torseurs couramment utilisés en mécanique

Torseur statique

Torseur cinématique

Torseur cinétique

La résultante du torseur cinétique est constitué de l'impulsion, du système. Son moment est le moment cinétique.

Torseur dynamique

Autre acception

Soit G un groupe. Un G-torseur (traduction littérale de l'anglais G-torsor) désigne un ensemble sur lequel G agit de façon transitive (une seule orbite) et sans fixer aucun point. Cela équivaut à "oublier lequel des éléments de G est l'unité". Un G-torseur et le groupe G associé sont donc le même ensemble, mais muni de structures différentes.

L'espace affine en est un exemple pour le groupe des translations spatiales: additionner deux points n'a aucun sens, leur différence par contre est un élément du groupe additif des translations, c'est-à-dire un vecteur. De même, les notes de la gamme dodécaphonique (avec identification des octaves) forment un G-torseur pour le groupe additif Z_12 des entiers mod. 12, les jours de la semaine pour le groupe Z_7, etc. La droite réelle et le groupe additif des réels sont un autre exemple: l'énergie d'un système physique n'est définie que modulo une constante arbitraire, mais les variations d'énergie sont des éléments du groupe R.

La fibre d'un fibré principal est un G-torseur.

Puissance générale

De manière générale, tout solide en mouvement et subissant des efforts extérieurs peut être modélisé par 2 torseurs:

Le torseur cinématique décrivant le mouvement du solide : $\{\mathcal{V}(S/R) \}_{A/R} = \begin{Bmatrix} \ \vec \Omega (S/R) \\ \ \vec V (A \in S/R) \end{Bmatrix}_{A/R}$

Le torseur des efforts extérieurs ou torseur statique (S: le solide, E: l'extérieur) : ${\mathcal{T} _A (E \to S) }_{/R} = \begin{Bmatrix} \overrightarrow{\mathcal{R}}(E \to S) \\ \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(E \to S) \end{Bmatrix}_{A/R}$

Puissance extérieure ( $\mathcal{P}_{ext}$ )

Soit un ensemble de solides (notés $\mathcal{S}_i$ avec i un indice) qui constitue ce que l'on appelle un système (noté $S$ ). La puissance extérieure est la puissance de tous les efforts extérieures qui s'appliquent sur le système. On se place par rapport au référentiel $R$ qui est le référentiel de base c'est-à-dire le référentiel du laboratoire, considéré comme galiléen.

Pour calculer la puissance extérieure instantanée du système en mouvement subissant des efforts extérieurs, on calcule le comoment ( $\otimes$ ) des 2 torseurs : $\mathcal{P}_{ext} = \begin{Bmatrix} \ \vec \Omega (S/R) \\ \ \vec V (A \in S/R) \end{Bmatrix}_{A/R} \otimes \begin{Bmatrix} \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S) \\ \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(R \to S) \end{Bmatrix}_{A/R}$

Ce qui donne en fait la formule suivante :

$\mathcal{P}_{ext} = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (A \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(R \to S).\vec \Omega (S/R)$

Puissance intérieure ( $\mathcal{P}_{int}$ )
Les puissances intérieures ( $\mathcal{P}_{int}$ ) d'un système sont les puissances entre les divers solides. Il faut utiliser la même méthode de calcul c'est-à-dire effectuer un comoment des 2 torseurs. Seulement il faut faire très attention aux torseurs à utiliser. En effet, ce comoment s'effectue entre le torseur des efforts d'un solide sur un autre et le torseur distributeur des vitesses du solide en question par rapport à l'autre solide!! .

Ce qui donne : $\mathcal{P}_{int} = \begin{Bmatrix} \ \vec \Omega (Si/Sj) \\ \ \vec V (A \in Si/Sj) \end{Bmatrix}_{A/Sj} \otimes \begin{Bmatrix} \overrightarrow{\mathcal{R}}(Sj \to Si) \\ \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(Sj \to Si) \end{Bmatrix}_{A/Si}$

Remarques :

C'est la formule générale. Si on considère un solide en translation ou si on considère un solide en rotation subissant un couple, on retombe sur les formules déjà précédemment énoncées.
La puissance instantanée calculée de cette manière ne dépend pas du point A du solide mais le comoment doit être calculé avec les 2 torseurs exprimés au même point
L'expression de ces 2 types de puissances nous amène au théorème de l'Énergie cinétique :

$\frac{dE_c}{dt}\ = \mathcal{P}_{ext} + \sum \mathcal{P}_{int}$

Démontrons que la puissance ne dépend pas du point du solide :

Formules de changement de point (la vitesse et le moment sont des vecteurs qui s'expriment en un point) :

$\vec V (A \in S/R) = \vec V (B \in S/R) + \vec \Omega (S/R) \land \vec {BA}$
$\overrightarrow{\mathcal{M}_A}(R \to S) = \overrightarrow{\mathcal{M}_B}(R \to S) + \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S) \land \vec {BA}$

La puissance exprimée au point A est :
$P(t) = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (A \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(R \to S).\vec \Omega (S/R)$
On utilise la formule de changement de point : $P(t) = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).(\vec V (B \in S/R) + \vec \Omega (S/R) \land \vec {BA}) + (\overrightarrow{\mathcal{M}_B}(R \to S) + \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S) \land \vec {BA}).\vec \Omega (S/R)$
Puis on développe : $P(t) = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (B \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_B}(R \to S).\vec \Omega (S/R) + \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).(\vec \Omega (S/R) \land \vec {BA}) +$ $(\overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S) \land \vec {BA}).\vec \Omega (S/R)$
Or on sait que : $\overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).(\vec \Omega (S/R) \land \vec {BA}) = \vec \Omega (S/R).(\vec {BA} \land \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S))$ (permutation circulaire).
Donc le terme : $\overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).(\vec \Omega (S/R) \land \vec {BA}) + (\overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S) \land \vec {BA}).\vec \Omega (S/R)$ est en fait nul.
Finalement on tombe donc sur : $P(t) = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (B \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_B}(R \to S).\vec \Omega (S/R)$
Autrement dit, pour tout point A et B du solide, on a l'égalité vectorielle suivante : $\overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (B \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_B}(R \to S).\vec \Omega (S/R) = \overrightarrow{\mathcal{R}}(R \to S).\vec V (A \in S/R) + \overrightarrow{\mathcal{M}_A}(R \to S).\vec \Omega (S/R)$

Conclusion : on a donc bien démontré que la puissance ne dépend pas du point choisi.

Exemples

Exemple d'utilisation

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