Théorie des jeux - Définition

Représentations des jeux

Forme extensive

Dans tous les jeux, les décisions peuvent être représentées par un arbre, dont chaque nœud est associé au joueur qui décide. Chaque option constitue une branche. Les gains de tous sont associés aux terminaisons ou feuilles de l'arbre. Un joueur n’a toutefois pas besoin de savoir comment il est parvenu à un nœud : seul compte l'état présent du jeu, et les positions recherchées dans le futur. Lorsque certains mouvements ne sont autorisés qu’après un événement donné, cet événement n’est qu’un des éléments à matérialiser dans l’état présent du jeu et n'a pas besoin de faire partie d'un historique.

Une forme extensive de jeu est un arbre de décision décrivant les actions possibles des joueurs à chaque étape du jeu, la séquence de tours de jeu des joueurs, ainsi que l'information dont ils disposent à chaque étape pour prendre leur décision. Cette information est représentée sous forme d'ensembles d'information qui forment une partition des nœuds de l'arbre, chaque classe de la partition contenant les nœuds non distinguables par le joueur à une étape du jeu. Si ces classes sont des singletons, c’est-à-dire que chacune est constituée d'un seul nœud de l'arbre du jeu, le jeu est dit à information parfaite, ce qui signifie que chaque joueur sait à tout moment où il se situe dans l'arbre du jeu. Dans le cas contraire, le jeu est dit à information imparfaite. L'information imparfaite est représentée sous la forme d'un joueur non rationnel : la « Nature », joueur qui prend aléatoirement certaines décisions à telle ou telle étape du jeu, orientant la suite du jeu vers un certain sous-arbre de l'arbre du jeu.

Forme normale

Définition

Article principal : Jeu sous forme normale

Un jeu sous forme normale est la donnée de l'ensemble des joueurs, de l'ensemble des stratégies pour chaque joueur et des paiements associés à toute combinaison possible de stratégies.

Représentation tabulaire

Si le jeu ne comporte que deux joueurs et un nombre raisonnablement restreint de stratégies possibles, on peut représenter le jeu sous la forme d'un tableau nommé matrice des gains.

Il s'agit d'un tableau à double-entrée qui énumère sur chaque côté les stratégies possibles des joueurs respectifs. Dans la case à la croisée de deux stratégies, on note le couple de gains des deux joueurs. C’est ce qu’on nomme (par convention) la matrice des paiements.

Si le jeu est à somme nulle et à deux joueurs, alors on peut ne noter que les gains du premier joueur : ceux du second sont directement opposés. Le tableau de gains se ramène alors à une matrice.

On peut, avec un nombre réduit de stratégies, tenter de représenter avec une matrice un jeu à trois ou quatre joueurs, mais cela pose souvent plus de problèmes d’interprétation et de lecture que ça n’apporte de réponses.

Gains et aversion au risque

Dans l’exemple en stratégie mixte défini plus haut, les participants au jeu ont été considérés comme neutres au risque. Cela signifie qu’ils considèrent qu’avoir une chance sur deux d’obtenir 20 et une chance sur deux de ne rien avoir est équivalent à obtenir 10.

Cependant, la plupart des personnes sont averses au risque, et préfèrent les issues les plus sûres, n’acceptant un risque supplémentaire que contre une espérance de gain plus important.

Un exemple de cette aversion au risque peut être remarqué au cours de jeux télévisés. Si, par exemple, on propose aux candidats une chance sur trois d’avoir 50 000 €, ou bien à coup sûr 10 000 €, beaucoup préféreront le second choix. Le revenu supplémentaire espéré qui est exigé pour compenser l’aversion au risque est appelé, en finance, la prime de risque. La souscription de polices d’assurance (là où ce n’est pas obligatoire) se justifie également par aversion au risque.

Il est donc rationnel de construire une mesure de l’utilité subjective

• qui soit une fonction du gain et du risque,
• qui satisfasse toujours le critère de neutralité au risque,
• et qui corresponde donc à un tableau de gains en stratégie mixte.

Plus généralement, l’utilité tient compte du fait que les grosses variations sont plus significatives que les petites (on achète volontiers un billet de loterie ou de Loto, dont le prix très faible correspond à une perte négligeable, tandis que le gain serait significatif), et que la signification d’une variation décroît (il y a plus de différence d’utilité entre un gain de 1 000 et un gain de 1 001 000, qu’entre un gain de 1 001 000 et un gain de 2 001 000, même si la différence est de 1 million à chaque fois ; une chance sur cent de gagner un million est généralement préférée à une chance sur mille de gagner 10 millions, malgré l’espérance égale).

Inversement, il peut exister un désir d’acheter du risque ou de la peur : qu’il s’agisse d’un billet de loterie ou d’un film d’épouvante, l’excitation correspondant à une valeur en elle-même.

Bref, le fait d’acheter un billet de loterie ou de Loto, ou de jouer dans un casino, est motivé par deux composantes :

• la sécrétion d’adrénaline (comme lorsqu’on va voir un film d’action ou qu’on pratique un sport à risque)
• la différence qualitative entre :
  • une perte probable qui passera inaperçue,
  • un gain certes peu probable, mais qui procurera s’il se produit un changement qualititatif. Ce point a été défendu devant l’Académie des sciences par Émile Borel (en réaction contre une tendance de son époque à ne considérer que l’espérance mathématique comme fonction d’utilité) et est en général admis depuis lors compte-tenu de sa meilleure explication des comportements liés au jeu et à la souscription de polices d’assurance.