Théorie des ensembles - Définition
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Les résultats d'indépendance en théorie des ensembles
Modèles intérieurs
Les premiers résultats d'indépendance notables en théorie des ensembles sont ceux de Kurt Gödel qui démontre que l'axiome du choix est compatible avec la théorie ZF, autrement dit si la théorie ZFC est contradictoire, alors la théorie ZF est contradictoire. Il montre également le même résultat pour l'hypothèse du continu vis à vis de ZF ou ZFC. Gödel utilise la méthode appelée depuis la méthode des modèles intérieurs, elle revient à construire, par exemple dans un modèle de ZF ne satisfaisant pas nécessairement l'axiome du choix, une sous-classe de celui-ci qui possède une nouvelle relation d'appartenance satisfaisant l'axiome du choix. Une contradiction de la théorie ZFC entraîne donc une contradiction de la théorie ZF.
Forcing
Paul Cohen, en 1963, démontre que la négation de l'hypothèse du continu (HC) est compatible avec la théorie ZFC : si la théorie ZFC + (non HC) est contradictoire, alors la théorie ZFC est contradictoire. La méthode qu'il introduit, le forcing, devait avoir un énorme succès en théorie des ensembles. Reformulée, étendue, itérée ... elle a permis de montrer de nombreux résultats d'indépendance.
Second théorème d'incomplétude
Les résultats d'indépendance précédents reposent sur des résultats d’équicohérence (ou équiconsistance, par exemple la cohérence de la théorie ZF entraîne la cohérence de ZF+AC (la réciproque est évidente). Mais pour d'autres axiomes, comme les axiomes de grands cardinaux, ce n'est pas le cas : dans la théorie ZFC + « il existe un cardinal inaccessible » on peut montrer l'existence d'un modèle de ZFC, c'est-à-dire la cohérence de cette théorie. Le second théorème d'incomplétude de Gödel permet d'en déduire que l'existence d'un cardinal inaccessible n'est pas démontrable dans ZFC (en supposant bien-sûr que cette dernière théorie est cohérente). Le second théorème d'incomplétude permet donc également de démontrer des résultats d'indépendance. Il est utilisé plus largement pour comparer des théories, une théorie étant « plus forte » qu'une autre si elle permet de démontrer sa cohérence.
Notes
- il ne considère d'ailleurs pas ceux-ci comme des paradoxes, voir le §2.2 de, Akihiro Kanamori (2008), Set Theory from Cantor to Cohen, to appear in: Andrew Irvine and John H. Woods (editors), The Handbook of the Philosophy of Science, volume 4, Mathematics, Cambridge University Press 2008.
- On trouve dans les leçons sur la théorie des fonctions d'Emile Borel Gauthiers-Villars 4ème édition 1950, un échange de lettres à ce sujet entre René Baire, Jacques Hadamard, Henri Lebesgue et Borel lui-même ; les lettres apparaissent dans la note IV introduite à partir de la seconde édition).
- le paradoxe de Russell et d'autres, est paru dans les principles of mathematics du dit Russell en 1903, le paradoxe de Richard est publié en 1905 ...
- Préface de la 4ème édition des leçons sur la théorie des fonctions
- Kurt Gödel. The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Princeton University Press.ISBN 0691079277.
- Robert M. Solovay A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue mesurable, Annals of Math. 92, 1970, pp 1-56.
- Ouvrage collectif Penser les mathématiques (séminaire de l'ENS) Editions du Seuil, Paris 1982 ISBN 2 02 006061 2 note 7 p.35
- Stefan Banach and Alfred Tarski, Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, Fundamenta Mathematicae, 6, (1924), 244–277. Review at JFM
- Halmos, P.R., Naive Set Theory, D. Van Nostrand Company, Princeton, NJ, 1960. Reprinted, Springer-Verlag, New York, NY, 1974, ISBN 0-387-90092-6. trad. Française Introduction à la théorie des ensembles, Gauthier-Villars Paris 1965.
- voir le livre de Peter Aczel, Non-Well-Founded Sets, CSLI Lecture Notes, Vol.14, CSLI Publications, Stanford, California, 1988.
