Théorie de Galois - Définition et Explications

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Introduction

Évariste Galois 1811-1832

En mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est l'étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d'une correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.) avec des groupes de transformations sur ces extensions, les groupes de Galois. Cette méthode féconde, qui constitue l'exemple historique, a essaimé dans bien d'autres branches des mathématiques, avec par exemple la théorie de Galois (En mathématiques et plus précisément en algèbre, la théorie de Galois est l'étude des extensions de corps commutatifs, par le biais d'une...) différentielle, ou la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation...) de Galois des revêtements.

Cette théorie est née de l'étude par Évariste Galois des équations algébriques. L'analyse de permutations des racines permet d'expliciter une condition nécessaire et suffisante de résolubilité par radicaux. Ce résultat est connu sous le nom de théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème...) d'Abel-Ruffini.

Les outils essentiels de la théorie sont les extensions de corps et les groupes de Galois.

Les applications sont très variées. Elles s'étendent de la résolution de vieilles conjectures comme la détermination des polygones constructibles à la règle et au compas démontrée par le théorème de Gauss-Wantzel à la géométrie algébrique (La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement, s'est d'abord intéressé à des objets géométriques (courbes, surfaces...) dont les...) à travers, par exemple, le théorème des zéros de Hilbert.

Histoire

Genèse

La théorie de Galois voit ses origines dans l'étude des équations algébriques. Elle se ramène à l'analyse des équations polynomiales. Une approche par des changements de variables et des substitutions a permis à des mathématiciens comme Al-Khwarizmi , Tartaglia , Cardano ou Ferrari ( Automobiles et motos Ferrari, constructeur automobile italien dont le nom provient de son fondateur Enzo Ferrari. Scuderia Ferrari, l'écurie de course du constructeur....) de résoudre tous les cas jusqu'au degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) quatre. Cette approche ne permet pas d'aller plus loin et deux siècles seront nécessaires pour apporter de nouvelles idées.

Gauss et les polynômes cyclotomiques

Carl Friedrich Gauss

Paragraphe détaillé : Histoire des polynômes cyclotomiques

Gauss utilise les polynômes cyclotomiques pour apporter une contribution à un problème ouvert depuis l'antiquité: celui de la construction à la règle et au compas de polygones réguliers. Il construit en particulier l'heptadécagone, polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments...) régulier à 17 côtés. Son approche, typiquement galoisienne bien avant la découverte de la théorie, lui vaut le surnom de prince des mathématiciens.

Son travail est complété par Wantzel , qui donne une condition nécessaire et suffisante de constructibilité des polygones réguliers et démontre l'impossibilité de la trisection de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) et de la duplication du cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace....).

Théorème d'Abel-Ruffini

Niels Abel 1802-1829

Paragraphe détaillé : Histoire du théorème d'Abel-Ruffini

Dans le cas général, l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) quintique n'admet pas de solution par radicaux. C'est la raison pour laquelle une démarche à l'aide de substitutions et changements de variables devient stérile. Lagrange et Vandermonde utilisent la notion de permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un changement de l'ordre de...) à la fin du XVIIIe siècle et pressentent l'importance de cet outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des...) dans le cadre de l'équation polynomiale.

Ruffini est le premier à prévoir l'impossibilité de la solution générale et que la compréhension du phénomène réside dans l'étude des permutations des racines. Sa démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un...) reste néanmoins peu rigoureuse et partielle. Le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme...) norvégien Abel publie une démonstration en 1824 qui finit par convaincre la communauté scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.). Elle ne propose pas à l'époque de condition nécessaire et suffisante de résolubilité.

Évariste Galois

En étudiant le problème de l'équation algébrique, Galois met en évidence les premiers éléments de la théorie qui porte maintenant son nom. Ses écrits sont perdus ou tombent dans l'oubli. Un mémoire (D'une manière générale, la mémoire est le stockage de l'information. C'est aussi le souvenir d'une information.) est finalement retrouvé par Liouville qui le présente à l'Académie des sciences (Une académie des sciences est une société savante dont le rôle est de promouvoir la recherche scientifique en réunissant certains des chercheurs les plus éminents, en tenant des...) en 1843. Les travaux de Galois accèdent alors in extremis à la postérité.

Galois, pour la première fois dans l'histoire des mathématiques (L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l’Amérique centrale. Jusqu'au XVIIe siècle, le développement des...), met en évidence une structure abstraite qu'il appelle groupe. À la différence de ses prédécesseurs, il n'étudie pas une incarnation particulière comme les permutations de Lagrange ou les groupes cycliques de Gauss, mais une structure générale définie par un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) et une loi.

Cette démarche, particulièrement novatrice, est à l'origine de l'algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale,...) moderne. Liouville en parle dans les termes suivants : « Cette méthode, vraiment digne de l'attention des géomètres, suffirait seule pour assurer à notre compatriote un rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. ...) dans le petit nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) des savants qui ont mérité le titre d'inventeur. »

Structures algébriques

L'apport majeur de Galois, c'est-à-dire l'utilisation d'une structure algébrique (En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant...) comme outil fondamental, est rapidement compris par la communauté mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...). Cauchy publie vingt-cinq articles sur les groupes dont un sur son célèbre théorème. Cayley donne la première définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) abstraite d'un groupe. Enfin, Jordan diffuse largement les idées de Galois. Son livre de 1870 présente les travaux de Galois comme une théorie générale sur des groupes, dont le théorème sur la résolution des équations n'est qu'une application. En France, la théorie de Galois est identifiée à celle des groupes à cette époque.

D'autres structures sont mises en évidence, particulièrement en Allemagne. Indépendamment des travaux de Galois, Kummer étudie des anneaux et découvre l'ancêtre de la notion d'idéal (En mathématiques, un idéal est une structure algébrique définie dans un anneau. Les idéaux généralisent de façon...). Kronecker et Dedekind développent les prémisses de la théorie des anneaux (En mathématiques, la théorie des anneaux s'occupe d'anneaux.) et des corps. Kronecker établit le pont (Un pont est une construction qui permet de franchir une dépression ou un obstacle (cours d'eau, voie de communication, vallée, etc.) en passant par-dessus cette séparation. Le...) entre les écoles française et allemande. Il donne la définition moderne de groupe de Galois à partir d'automorphismes de corps.

À la fin du XIXe siècle, Weber réalise une synthèse des différents travaux. La théorie de Galois est alors pour la première fois identifiée avec celle des corps commutatifs.

Théories de Galois

Icosaèdre (En mathématiques, et plus précisément en géométrie, un icosaèdre est un solide de dimension trois, de la famille des polyèdres, c'est-à-dire que sa surface...)

Un nouvel axe d'analyse enrichit la théorie de Galois. En 1872 Klein se fixe comme objectif de classifier les différentes géométries de l'époque. Il dégage, dans son célèbre programme d'Erlangen, le principe général qu'une géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) est définie par un espace et un groupe opérant sur cet espace, appelé groupe des isométries. Un pont est ainsi établi entre la théorie des groupes et la géométrie. Ces premiers groupes correspondent à des groupes de Lie et n'appartiennent pas directement à ceux de la théorie de Galois.

En 1877 Klein remarque que le groupe des isométries laissant invariant l'icosaèdre est isomorphe au groupe de Galois d'une équation quintique. La théorie de Galois s'étend à la géométrie algébrique. Les groupes de Galois prennent alors la forme de revêtements aussi appelés revêtement de Galois. David Hilbert (David Hilbert (23 janvier 1862 à Königsberg en Prusse-Orientale – 14 février 1943 à Göttingen, Allemagne) est un mathématicien allemand. Il est...) étudie les corps de nombres quadratiques et apporte une contribution majeure à la théorie en démontrant son célèbre théorème des zéros. Ce théorème possède aussi une interprétation géométrique sur les variétés algébriques. La théorie est maintenant enrichie d'une nouvelle branche: la théorie de Galois géométrique. Elle s'avère particulièrement féconde.

Les travaux de Hilbert ouvrent d'autres branches de la théorie de Galois. Le théorème des zéros permet l'étude des premiers groupes de Galois d'ordre infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose...). Son théorème d'irréductibilité ouvre la problématique inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1,...). Elle s'énonce de la manière suivante : si G est un groupe alors est-il le groupe de Galois d'une extension?

Enfin les travaux de Picard et Vessiot ouvrent une autre voie pour l'étude des groupes de Galois d'ordre infini, la théorie de Galois différentielle.

Apports du XXe siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée...)

Les travaux de Hilbert ont ouvert l'étude des cas où le groupe de Galois est d'ordre infini et commutatif. Ce vaste sujet prend le nom de théorie des corps de classes. Elle est maintenant achevée et est souvent considérée comme un des plus beaux succès des mathématiques du siècle.

La formalisation définitive de la théorie de Galois est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par Artin. L'adjonction de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les...) permet une exposition plus claire et concise. La théorie utilise maintenant toutes les grandes structures de l'algèbre, les groupes, les anneaux, les corps et les espaces vectoriels. Elle dispose maintenant de ramifications importantes en géométrie algébrique.

Elle est la base d'une quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur...) majeure des grandes réalisations mathématiques du XXe siècle. L'alliance de la géométrie et de l'algèbre est presque systématiquement utilisée. On peut citer par exemple les travaux des mathématiciens Jean-Pierre Serre (Jean-Pierre Serre est un mathématicien français né le 15 septembre 1926 à Bages (Pyrénées-Orientales). Il est considéré comme étant l'un des plus grands mathématiciens du XXe siècle. Il a reçu de nombreuses...) (Médaille Fields 1954) et Grothendieck (Médaille Fields 1966) avec une refonte de la géométrie algébrique, Faltings (Médaille Fields 1986) pour ses travaux sur les modules de Galois démontrant le théorème de Mordell ou Laurent Lafforgue (Médaille Fields 2002) sur le Programme de Langlands, une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de...) de la théorie des corps de classes.

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