Théorie de Galois - Définition

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Les structures utilisées

Corps commutatifs

Le corps commutatif est l'objet de la théorie de Galois. C'est donc naturellement la structure centrale de la théorie.

La technique la plus importante de construction correspond à l'extension, c'est-à-dire à un corps qui contient le corps d'origine. À partir d'un corps de base, souvent le plus petit, celui engendré par l'unité, qui est un corps cyclique (construit à partir d'un groupe cyclique d'ordre un nombre premier) ou celui des rationnels une nouvelle structure est créée.

Cette méthode permet la création d'une zoologie décrivant les différentes propriétés de la structure. Un corps peut ainsi être par exemple algébrique, simple, parfait, quadratique, séparable, cyclotomique ou algébriquement clos.

Il existe des théorèmes importants, comme celui de l'élément primitif ou celui de Wedderburn qui assurent que tout corps fini est commutatif.

Espace vectoriel

Une extension possède une structure d'espace vectoriel sur son corps de base. Cette structure est importante à deux titres:

Elle permet de classifier l'étude des différents corps, ceux de dimension finie dit encore extension finie et les autres. De même qu'en algèbre linaire, le premier cas est infiniment plus simple que l'autre.

Elle est ensuite un outil qui permet la démonstration de nombreuses propriétés en adjoignant à la théorie les théorèmes d'algèbres linéaires. On peut citer par exemple le théorème de Gauss-Wantzel dont la démonstration se trouve dans le paragraphe applications des tours d'extension quadratique ou le théorème d'Abel-Ruffini qui utilise une diagonalisation d'endomorphisme.

Le cas de dimension infinie est largement plus complexe, il est partiellement traité dans la théorie des corps de classe.

Anneau

Un outil important de la théorie est le polynôme formel. Et la structure d'anneau est celle de l'ensemble des polynômes. Il est utilisé par exemple pour construire des extensions. Une extension est ainsi souvent le quotient de l'anneau des polynômes par un idéal engendré par un polynôme irréductible.

Un polynôme joue un rôle particulier dans la théorie: le polynôme minimal qui est le polynôme unitaire de plus petit degré qui possède pour racine un élément donné. Ainsi, une extension est algébrique si tous les éléments possèdent un polynôme minimal, quadratique si le polynôme minimal de tout élément est de degré inférieur ou égal à deux, séparable si aucun polynôme minimal n'a de racine multiple, cyclotomique si l'extension est engendrée par une racine d'un polynôme cyclotomique. Un corps est parfait si toute extension est séparable.

La théorie algébrique des nombres utilise aussi souvent des sous-ensembles d'une extension ne disposant que d'une structure d'anneau, comme par exemple les entiers algébriques.

Groupe

Cette structure est l'apport majeur du mathématicien portant le nom de la théorie.

Le groupe de Galois est le groupe des automorphismes d'une extension laissant invariant le corps de base. Sous certaines conditions relativement générales, le corps est entièrement caractérisé par son groupe de Galois. Une extension satisfaisant ces conditions est dite galoisienne. En particulier, si la structure d'espace vectoriel est de dimension finie, alors le groupe d'une extension abélienne a pour ordre la dimension du groupe.

Comme il est largement plus simple d'étudier un groupe fini qu'une structure de corps, l'analyse du groupe est une puissante méthode pour comprendre le corps. Le groupe de Galois est à l'origine de nombreux théorèmes. On peut citer le théorème fondamental de la théorie, le théorème d'Abel-Ruffini ou celui de Kronecker-Weber.

Topologie

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