Théorie de Galois - Définition

Théories de Galois

Théorie classique

Le terme de classique est largement utilisé, même s'il ne possède pas de définition précise. On le trouve par exemple, sur la page de présentation d'un membre de l'Académie des sciences : Jean-Pierre Ramis. Il est aussi utilisé largement par Daniel Bertrand professeur à l'université de Paris VI.

Il désigne en général la théorie recouvrant les extensions algébriques finies et séparables. la théorie traite essentiellement des extensions normales et donc galoisiennes. Les résultats principaux sont le théorème de l'élément primitif et le théorème fondamental de la théorie de Galois. Ce cadre permet par exemple la démonstration du théorème d'Abel-Ruffini de Gauss-Wantzel ou de Kronecker-Weber, il est utilisé dans la classification des corps finis.

L'étendue de cette théorie couvre l'état de la science à l'époque de Weber c'est-à-dire la fin du XIX^e siècle, même si maintenant elle est très généralement présenté avec le formalisme d'Artin. Cela correspond un peu au cas de la dimension finie pour l'algèbre linéaire.

Théorie de Galois infinie

La théorie de Galois classique traite le cas des extensions algébriques finies. Toutefois, elle ne s'avère pas assez puissante pour traiter aussi celui des extensions algébriques infinies. Pour cela une étude algébrique ne s'avère pas suffisante, il faut y ajouter l'utilisation de propriétés topologiques.

Une extension algébrique est dite galoisienne si elle est séparable et normale. Son groupe de Galois peut alors être défini comme dans le cas classique, mais on y ajoute une topologie qui en fait un groupe topologique compact. Dans le cas d'une extension finie, cette topologie est discrète, de sorte que la seule information contenue dans le groupe de Galois est de nature algébrique.

Dans ce cadre, il existe un analogue au théorème fondamental de la théorie de Galois, qui donne une correspondance entre les sous-groupes fermés du groupe de Galois et les extensions intermédiaires de corps.

Théorie géométrique

Théorie inverse

Il est en général difficile de déterminer le groupe de Galois d'une extension donnée, mais la question réciproque est tout aussi intéressante: soit un groupe donné, y a-t-il une extension sur un corps donné qui possède ce groupe comme groupe de Galois? Si oui la ou les préciser. C'est à cette question que la théorie inverse cherche à répondre.

Dans le cas des groupes finis, un premier résultat montre que si n est un entier strictement positif alors il existe une extension du corps des rationnels ayant pour groupe de Galois le groupe symétrique d'ordre n. Par exemple, le corps de décomposition du polynôme rationnel Xⁿ - X - 1 admet pour groupe de Galois le groupe symétrique d'ordre n. Le théorème de Cayley et le théorème fondamental de la théorie de Galois permet d'en déduire que, pour tout groupe fini G, il existe une extension d'un corps de nombres (c'est-à-dire une extension finie des nombres rationnels) ayant G pour groupe de Galois.

De façon plus précise la théorie inverse cherche à répondre à trois questions :

• Soit un groupe G et un corps K, existe-t-il une extension de K ayant G pour groupe de Galois ?
• Soit un groupe fini G, existe-t-il une extension normale des rationnels ayant G pour groupe de Galois ?
• Soit un groupe fini G et un corps K, existe-t-il une extension normale de K ayant G pour groupe de Galois ?

Malgré d'importants progrès durant les trente dernières années du XX^e siècle, en 2006 les trois questions restent très largement ouvertes.

Théorie différentielle

Certaines fonctions obtenues par addition, multiplication, division et composition de fonctions élémentaires (polynômes, exponentielle et logarithme par exemple) n'admettent aucune primitive qui puisse s'obtenir de la même manière. C'est le cas par exemple de la fonction gaussienne d'expression x ↦ exp(−x²/2).

Ce fait est généralisé par la théorie de Galois différentielle, qui permet de déterminer, dans un ensemble des fonctions élémentaires, celles qui admettent une primitive élémentaire. Cette théorie étudie des corps particuliers appelés corps différentiels. Ce sont les corps K munis d'une dérivation δ, c'est-à-dire d'une application vérifiant la propriété suivante :

Cette branche traite d'une famille de corps, il est donc naturel de la considérer comme un cas particulier de la théorie de Galois. Cependant l'analogie va plus loin et à bien des égards, cette théorie ressemble à la théorie classique. La différence principale est que, dans ce contexte, le groupe de Galois n'est plus un groupe fini mais en général un groupe algébrique.

Théorie des corps de classes