Théorème spectral - Définition et Explications

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Introduction

Un ellipsoïde en trois possède autant d'axes de symétrie que l'espace de dimensions. Ils sont notés ici x, y et z.
Le paraboloïde (En mathématiques, un paraboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de centre de symétrie.) est une quadrique (En mathématiques, une quadrique, ou surface quadratique, est n'importe quelle surface de l'espace euclidien usuel de dimension 3 représentée par une équation de...) dégénérée. Les axes x et y ne correspondent à aucune symétrie.

En mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...), une quadrique désigne une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent...) d’un espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses...). Elle est définie par un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en pratique, ne serait-ce que parce...) du second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) dont les variables correspondent aux coordonnées d’un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut...) dans une base orthonormale (Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et , une base de En.). L’ellipsoïde ou l’hyperboloïde à une ou deux nappes en sont des exemples. Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) s’étend à toutes les dimensions finies et se généralise aux nombres complexes. Une symétrie axiale est une transformation de l’espace. À chaque point (Graphie) est associé le point en vis-à-vis par rapport à un axe dit de symétrie. Le point de départ et d'arrivée définissent une droite perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à...), sécante à cet axe et l’intersection correspond au milieu des points de départ et d'arrivée.

Les quadriques possèdent une propriété remarquable, il existe au moins autant d’axes de symétries que l’espace contient de dimensions. De plus, ces axes peuvent être choisis perpendiculaires entre eux. Il existe des cas pathologiques invalidant ce résultat, comme le paraboloïde elliptique. Ces quadriques, qualifiées de dégénérées par les mathématiciens, possèdent moins d’axes de symétries.

Ce même résultat s’exprime fort différemment selon le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de...) utilisé. Il possède un équivalent en terme algébrique, linéaire ou bilinéaire (Soit E, F et G trois espaces vectoriels sur un corps . Soit une application, on dit que est bilinéaire si et seulement si elle est linéaire en chacune de ses variables, c'est-à-dire: : ) et encore matriciel. Son champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d’application dépasse celui de l’algèbre et la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...). En mathématiques pures, il est utilisé pour résoudre des équations différentielles ou classifier les forme quadratiques, il est aussi appliqué au calcul numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et échantillonnée, par opposition à...) et aux statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation de ces ressources afin de les rendre...). La physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique...) en fait grand usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) pour des questions de mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission,...) générale du solide ou du point.

Cette propriété apporte une réponse restée conjecturale plus d’un siècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut être...), avant d’être démontrée par Karl Weierstrass en 1858. Elle était nécessaire pour répondre à une question d’astronomie : la stabilité du système solaire (Le système solaire est un système planétaire composé d'une étoile, le Soleil et des corps célestes ou objets définis gravitant autour de lui (autrement dit, notre système planétaire) : les huit...). Si elle s’est avérée insuffisante pour une réponse complète, ce résultat eut néanmoins un brillant avenir. La généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être...) à la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) infinie ouvre une vaste théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...), dite spectrale. Elle est indispensable à la physique du XXe siècle, par exemple pour la mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de décrire les phénomènes fondamentaux à l'œuvre dans les...). Pour cette raison, ce résultat porte parfois le nom de théorème spectral.

Dimension algébrique de la propriété

La sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points...) rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.) représente la sphère unité pour la première forme, la figure bleue représente la sphère unité pour la deuxième forme dans la mesure ou celle-ci est définie positive. La figure bleue est un ellipsoïde (En mathématiques, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de...) dont les axes sont orthogonaux pour la première forme.

Une quadrique est un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise,...) structurant, un cas particulier essentiel est celui de la sphère, définir un tel objet dans un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.) revient à le munir d'une distance spécifique, dite euclidienne. Une méthode couramment utilisée consiste à utiliser une forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre...), c'est-à-dire une application de l'espace dans l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des réels positifs. La distance est définie comme la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.) de la forme quadratique du vecteur reliant les deux points. Utiliser la forme quadratique à la place de la distance est commode. Les racines carrées disparaissent, permettant une expression plus simple des formules. Ainsi, le théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de la...) dans le plan s'écrit, si Φ est la forme quadratique associée à la distance et si θ1 et θ2 correspondent aux carrés des coordonnées dans une base orthonormale, par Φ = θ1 + θ2. Dans le cas d'une dimension finie quelconque : Φ = θ1 + θ2 + … + θn.

Une telle forme correspond à un cas particulier de quadrique. Elle est aussi définie par un polynôme de degré deux. Il est néanmoins homogène, c'est-à-dire qu'il ne contient que des termes de degré deux. Une quadrique homogène définit une deuxième forme quadratique Ψ et en conséquence une autre distance. Graphiquement, le contexte de la propriété de l'article est illustré par la figure de gauche. La distance d'origine est définie par la sphère rouge et celle de la quadrique associée à Ψ, par l'ellipsoïde bleu (Bleu (de l'ancien haut-allemand « blao » = brillant) est une des trois couleurs primaires. Sa longueur d'onde est comprise approximativement entre 446 et 520 nm. Elle varie en luminosité du...). Il existe alors une base qui respecte l'orthogonalité (En mathématiques, l'orthogonalité est un concept d'algèbre linéaire associé à une forme bilinéaire. Un cas fréquent est celui où cette forme est un produit scalaire.) des deux formes quadratiques. Si l'orthogonalité est respectée, il n'en est pas de même pour les longueurs. Ainsi, le vecteur unitaire de l'axe des x pour la distance originale (en rouge) est de longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) plus petite pour la nouvelle distance (en bleu), d'où la nécessité d'un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction...) s1 pour passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) d'une distance à l'autre.

Seules les ellipsoïdes définissent une distance euclidienne. Un hyperboloïde (En mathématiques, un hyperboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de posséder un centre de symétrie et de s'étendre à...) définit une distance de nature différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans l'anneau des...), utilisée par exemple pour la relativité restreinte (La relativité restreinte est la théorie formelle élaborée par Albert Einstein en 1905 en vue de tirer toutes les conséquences physiques de la relativité galiléenne et du principe que la vitesse de la...).

C'est en ces termes que Weierstrass exprime son théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...). Le vocabulaire évolue un peu avec le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), le terme maintenant utilisé est celui de forme quadratique quand il parle de fonction homogène du second degré :

« Soit deux fonctions homogènes du second degré Φ, Ψ de n variables x1, x2, …. , alors il est en général possible, de les représenter de cette même forme

Φ = θ1 + θ2 + … + θn
Ψ = s1θ1 + s2θ2+…+snθn,
θ1, θ2, …,θn étant des expressions quadratiques homogènes des x1,…xn et s1,… , sn des constantes. »

Un tel formalisme généralise la notion de distance. Les valeurs de si n'ont aucune raison d'être toutes positives. Si tel n'est pas le cas, la sphère unité prend une apparence différente, analogue à un hyperboloïde. Une telle géométrie est utilisée en physique, dans le cadre de la relativité restreinte.

Enfin, il existe un pont (Un pont est une construction qui permet de franchir une dépression ou un obstacle (cours d'eau, voie de communication, vallée, etc.) en passant par-dessus cette séparation. Le franchissement supporte le...) entre les formes quadratiques et les applications linéaires, construit à l'aide du produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou...). Il est ici noté < . , . >, c'est-à-dire que le produit scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est...) de deux vecteurs u et v est noté < u , v >. A une application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs...) a de l'espace dans lui-même (appelé endomorphisme), est associé la forme quadratique Φa définie par Φa(u) = < a(u) , u >. Il existe de bons endomorphismes pour définir les formes quadratiques, ils sont nommés autoadjoints. Ils correspondent à ceux dont la matrice, dans une base orthonormée est symétrique, c'est-à-dire que les coefficients sont en miroir par rapport à la première diagonale (On appelle diagonale d'un polygone tout segment reliant deux sommets non consécutifs (non reliés par un côté). Un polygone à n côtés possède ...). L'étude des endomorphismes autoadjoints est l'origine de la question traitée dans cet l'article.
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