Si un endomorphisme est diagonalisable dans une base orthonormée et que les valeurs propres sont toutes réelles, alors il est clairement auto-adjoint.
En revanche, un endomorphisme est parfois diagonalisable sans être normal. Il suffit, par exemple de considérer un endomorphisme dont les racines du polynôme caractéristique sont toutes distinctes et dont les vecteurs propres ne forment pas une base orthogonale.
Il est possible d'étudier la possible diagonalisation d'un endomorphisme sans produit scalaire. Une condition nécessaire et suffisante est donnée par le polynôme minimal. Un endomorphisme sur un espace vectoriel de dimension finie est diagonalisable si et seulement si le polynôme minimal est scindé et ne contient aucune racine multiple.
Le cas général est traité par Jordan si le polynôme minimal est scindé. L'endomorphisme n'est pas toujours diagonalisable, en revanche une forme canonique existe dans le cas général, permettant ainsi une réduction de l'endomorphisme.
La tentation de généraliser le théorème à la dimension infinie est grande. L'exemple historique de la théorie est celui d'une corde vibrante, une modélisation exacte suppose une infinité de masses et impose donc un espace de dimension infinie. D'autres équations aux dérivées partielles se modélisent par un passage à la dimension infinie. Celle de la propagation de la chaleur est un exemple.