Théorème isopérimétrique - Définition et Explications

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Introduction

En géométrie, un théorème isopérimétrique traite d'une question concernant les compacts d'un espace métrique muni d'une mesure. Un exemple simple est donné par les compacts d'un plan euclidien. Les compacts concernés sont ceux de mesures finies ayant une frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier suivant les régions et les époques....) aussi de mesure finie. Dans l'exemple choisi, les compacts concernés sont ceux dont la frontière est une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont...) rectifiable, c'est-à-dire essentiellement non fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme « fractale » est...). Les mesures du compact et de sa frontière sont naturellement différentes, dans l'exemple choisi, la mesure du compact est celle d'une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa mesure, sa...), celle de la frontière, une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...).

Un théorème isopérimétrique (En géométrie, un théorème isopérimétrique traite d'une question concernant les compacts d'un espace métrique muni d'une mesure. Un exemple simple est donné par les compacts d'un plan euclidien. Les compacts...) caractérise les compacts ayant la mesure la plus grande possible pour une mesure de leur frontière fixée. Dans le plan euclidien en utilisant la mesure de Lebesgue (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.), un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes....) isopérimétrique indique qu'un tel compact est un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.). En dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) 3, toujours avec une géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances...), une autre version du théorème indique que c'est une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point...). D'une manière plus générale, dans un espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses Éléments. Une...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre...) n, muni de la mesure de Lebesgue, l'optimum est obtenu par une sphère, ce qui donne l'inégalité isopérimétrique suivante, si K est un compact et B la boule unité :

\frac{(\text{Vol}\,\partial K)^n}{(\text{Vol}\, K)^{n-1}}  \ge \frac{(  \text{Vol}\,\partial B) ^n } { (\text{Vol}\, B) ^{n-1} }

Un autre exemple de résultat est obtenu si le choix de la mesure est celui du nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de points d'un réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est un « petit rets », c'est-à-dire un petit filet), on...) inclus dans le solide K, et si les compacts choisis sont des polytopes convexes à sommets entiers. En dimension 2 si le réseau est Z2, on trouve le théorème de Pick, indiquant que la mesure du polytope (En géométrie, un polytope est la généralisation à toutes dimensions de la notion de polygone pour deux dimensions et de polyèdre pour trois dimensions. Ce terme est aussi utilisé pour une large variété de concepts...) P (c'est-à-dire le nombre de points de Z2 qu'il contient) est égale à sa surface plus la moitié des points que contient sa surface plus un.

Un théorème isopérimétrique est souvent difficile à établir. Même un cas simple, comme celui du plan euclidien muni de la mesure de Lebesgue, est relativement technique à démontrer. Une des méthodes partielles de preuve, connue depuis la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...) de Hurwitz en 1901 est d'utiliser un résultat d'analyse, issu de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) des séries de Fourier, connu sous le nom d'inégalité de Wirtinger. Le résultat reste partiel (Le mot partiel peut être employé comme :) car il ne traite que des surfaces dont la frontière est une courbe de classe C1.

Les théorèmes isopérimétriques sont actuellement l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction...) d'une intense recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par...) en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations....), en particulier en analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en...) et en théorie des probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu à...), suite à leurs liens étroits avec les phénomènes de concentration de la mesure.

Une approche plus élémentaire est proposée dans l'article Isopérimétrie (En géométrie plane, l'isopérimétrie traite, en particulier, la question de trouver la surface la plus vaste possible, pour un périmètre donné. La réponse est intuitive, c'est le disque....).

Fragments d'histoire

Prémisses

La connaissance de théorème isopérimétrique est ancienne, près de 3 000 ans. Le résultat essentiel de l'époque est l'œuvre de Zénodore qui démontre un résultat que l'on exprimerait maintenant de la manière suivante : S'il existe un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée d'une suite cyclique de segments consécutifs et délimitant une portion du...) à n côtés de surface maximale à périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer...) donné, alors il est régulier. Cette partie de l'histoire est traitée dans l'article Isopérimétrie. Les études des théorème isopérimétriques datant de l'antiquité se fonde exclusivement sur la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par...). Ces méthodes, assez élémentaires, ne permettent pas d'aller beaucoup plus loin. Par exemple, démontrer l'existence d'une solution est hors de portée. Il faut attendre près de 2 000 ans pour que l'étude de cette question soit enrichie à l'aide d'apports théoriques de nature différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité...).

Jacques Bernoulli étudie la question pour répondre à des questions de mécanique statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut être employé comme :) et plus précisément s'intéresse à la forme que doit posséder une poutre pour offrir le maximum de résistance possible, la résolution d'une telle question débouche sur un théorème isopérimétrique, le demi-cercle est parfois la forme offrant la meilleure résistance. Si Bernoulli ne parvient pas à finaliser un résultat, il utilise de nouveaux outils issus du calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble...). Le mariage de la géométrie et de l'analyse est promis à un grand avenir, même si un théorème isopérimétrique n'est pas encore accessible.

Le XIXe siècle est celui des progrès majeurs. La première avancée est le fruit (En botanique, le fruit est l'organe végétal protégeant la graine. Caractéristique des Angiospermes, il succède à la fleur par transformation du pistil. La paroi de...) du travail de Jakob Steiner . Il montre que, si une solution existe, elle est nécessairement unique et c'est le disque. Pour cela, il développe un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la...), maintenant appelé symétrisation de Steiner et encore utilisé pour établir des théorèmes d'isopérimétrie. Son idée majeure consiste à remarquer que, si l'on coupe une solution à l'aide d'une droite en deux parties de surfaces égales, il est possible de construire une nouvelle surface optimale à l'aide de la duplication d'une des deux parties. Sa démonstration est présentée dans l'article Isopérimétrie.

Calcul variationnel

Pour l'obtention d'une preuve complète, au moins en dimension 2, une difficulté majeure n'est toujours pas franchie, celle de la preuve de l'existence d'une solution. Les premiers éléments de réponse proviennent de la démarche initiée par Bernoulli. Une hypothèse supplémentaire, un peu étrange, est supposée : la frontière de la surface est lisse. L'étrangeté provient du fait qu'une ondulation sur la surface a tendance à plus augmenter le périmètre que l'aire. Plus la courbe frontière est irrégulière, plus elle est loin de l'optimale, mais plus la démonstration devient difficile. Karl Weierstrass formalise le calcul des variations et établit les bases de l'analyse fonctionnelle. Cette approche consiste à étudier non pas une courbe spécifique, mais un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) de courbes qui varient, par exemple à l'aide d'un paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.). En faisant varier ces courbes, on montre que le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de...) est l'optimum recherché. Au moins pour la dimension 2, une fois l'existence d'un optimum établi pour les surfaces à la frontière régulière, il n'est plus trop difficile de montrer le théorème général, on sait en effet approximer une courbe fermée continue par une autre continûment dérivable.

La généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent être...) aux dimensions supérieures est naturelle. Dans un premier temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), on suppose l'existence d'une solution au théorème et on montre que cette solution est nécessairement une sphère de dimension n. Le raisonnement est très physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique...), c'est celui qui détermine la forme d'une bulle de savon (Qui ne s'est pas un jour ou l'autre émerveillé à la vue des bulles de savon ? Ces petites boules volantes ou composant les mousses des écumes recèlent beaucoup de sujets d'étude pour les physiciens.). L'équilibre de la bulle est le fruit de deux forces qui s'annulent : la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) due à l'aire enfermée dans la bulle et la tension superficielle (La tension superficielle, ou énergie d'interface, ou énergie de surface, est la tension qui existe à la surface de séparation de deux milieux.) de la surface. Un rapide calcul de variation montre que la courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par...) moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des...) de la sphère est nécessairement constante. En 1900, on sait que le seul compact strictement convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont convexes, mais...) de courbure moyenne constante est une sphère. Une fois encore, la démonstration de l'existence d'une solution s'avère la partie délicate. Une première démonstration en dimension 3 est l'œuvre H. A. Schwarz en 1890.

Géométrie des convexes

Si la démarche fondée sur le calcul variationnel débouche, la généralisation à des dimensions supérieures n'est pas aisée. Une autre approche, issue de la théorie algébrique des nombres est finalement plus prometteuse. Hermann Minkowski développe une approche géométrique qui l'amène à étudier le nombre de points à coordonnées entières que contiennent certains convexes, problème proche de l'isopérimétrie. La fonction qui associe à un convexe compact de Rn, le cardinal de son intersection avec le réseau Zn est une mesure. Le théorème de Minkowski, qui procède de cette logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage,...), permet d'élucider de manière élégante la structure du groupe des classes d'idéaux. Une nouvelle structure géométrique est étudiée ; au lieu de considérer une géométrie euclidienne de dimension n, Minkowski étudie un ensemble dont les points sont des compacts convexes. Cet ensemble est muni d'une addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs...).

Felix Hausdorff trouve une distance naturelle pour un espace un peu plus vaste, celui des compacts. La topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) associée à cette distance est bien adaptée. Les fonctions volumes et surfaces, qui associent à un convexe compact sa mesure et la mesure de sa frontières sont continues. Il en est de même pour la somme de Minkwoski. Enfin, l'espace est complet ainsi que le sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du...) des convexes. Enfin les polytopes forment un ensemble dense.

En dimension 2, l'étude de la somme de Minkwoski et de la sphère de rayon t et de centre le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur, à...) nul avec un convexe compact donne l'expression polynomiale a + pt + πt2, où a désigne l'aire du convexe et p son périmètre. Démontrer le théorème isopérimétrique en dimension 2 revient à montrer que p2 est plus grand que 4πa, ce qui revient à dire que l'expression polynomiale précédente admet des racines réelles, ce que fait Minkowski. T. Bonnesen va plus loin, en 1921 il démontre que si r est le rayon d'un cercle inscrit et R le rayon d'un cercle circonscrit, on dispose de la majoration suivante :

 p^2 - 4\pi a \ge \pi^2(R^2 -r^2) \;

Autrement dit, l'égalité ne peut avoir lieu que si le convexe est un disque. Cette démarche peut être généralisée aux dimensions supérieures. A. Aleksandrov et W. Fenchel utilisent cette démarche pour établir le théorème isopérimétrique général, pour les géométries euclidiennes et la mesure de Lebesgue en 1937.

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