Dans tout le paragraphe, S désigne une surface fermée convexe d'un plan euclidien dont l'aire, noté a, est finie et strictement positive ; le périmètre l'est aussi et est noté p.
Dans le plan euclidien, le théorème isopérimétrique prend la forme suivante :
Ce théorème est souvent exprimé sous une forme équivalente, dite inégalité isopérimétrique :
Aucune hypothèse n'est nécessaire sur la nature de la surface. Cependant, si elle n'est pas suffisamment régulière, le périmètre n'est pas fini, l'inégalité ne possède alors aucun intérêt.
En dimension 2, on dispose d'une propriété qui simplifie grandement les choses :
Intuitivement, ce théorème est relativement évident. L'enveloppe convexe de S possède une aire strictement plus grande et un périmètre strictement plus petit que S, si l'ensemble n'est pas convexe. Pour cette raison, il est pertinent de ne s'intéresser qu'aux surfaces convexes. Comme l'aire et le périmètre, s'ils existent, d'un convexe est le même que celui de son adhérence, se limiter aux convexes fermés ne réduit en rien la généralité des solutions trouvées. Enfin, comme toute surface de périmètre fini est bornée, si elle est fermée, elle est nécessairement compacte (cf. l'article Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie).
L'article Isopérimétrie établit encore deux résultats à l'aide de la géométrie du triangle :
La partie plus difficile à établir est l'existence de telles surfaces.
Une première manière de simplifier la question est du supposer que la frontière est suffisamment régulière. En 1904, Hurwitz propose une démonstration particulièrement élégante, qui se fonde sur l'inégalité de Wirtinger :
Le prix à payer contre l'élégance et la simplicité est le caractère partiel de la solution. L'existence d'une solution optimale est bien démontrée, mais uniquement si la frontière est lisse. Or la frontière peut être quelconque. Évidemment, si elle n'est pas finie, la formule est vraie mais possède peu d'intérêt.
Soit f une fonction 2π-périodique, de moyenne nulle, de classe C1 par morceaux et continue. Alors
De plus si ||f||=||f'||, alors f est une fonction sinusoïdale
On trouve une démonstration dans l'article inégalité de Wirtinger.
Comme f définit une courbe fermée, c'est-à-dire une boucle, on peut considérer cette courbe comme une fonction périodique, parcourant une infinité de fois la boucle. Soit T cette période. Comme une translation est une isométrie, elle ne modifie ni le périmètre p ni l'aire a de la surface délimitée par f. On peut donc supposer que le centre de gravité de la surface S est le centre du repère orthonormal utilisé.
Déterminons dans un premier temps le périmètre p. Il est égal à l'intégrale de la norme de la vitesse sur une période ; on obtient la formule :
Si l'on choisit comme paramètre l'abscisse curviligne s, c'est-à-dire que l'arc est parcouru à vitesse uniforme p/2π. la valeur T est égale à 2π avec ce nouveau paramétrage.
Déterminons ensuite la valeur de l'aire a. Elle est définie par la formule, exprimée de plusieurs manières différentes :
Pour s'en rendre compte, on peut soit utiliser le puissant théorème de Stokes sur la courbe C associée à la fonction f, soit remarquer que S est convexe. Si α est la plus petite valeur atteinte par y(t) , β la plus grande et γ une valeur entre les deux, il existe deux points de la courbe ayant pour ordonnées γ, que l'on peut noter x1(γ) et x2(γ). Les fonctions x1 et x2 de [α, β] dans R sont toutes deux continues et correspondent à l'illustration de la figure de droite. Par définition de a, sa valeur est égale à la somme des aires en rouge et vert sur la figure :
En utilisant la variable s curviligne au lieu de y, on remarque qu'il existe deux valeurs v1 et v2 de l'intervalle [0, p] tel que :
Il est temps d'évaluer p2 - 4π.a :
Comme x vérifie les hypothèses de l'inégalité de Wirtinger :
Pour le cas d'égalité : d'une part il faut qu'il y ait égalité dans l'inégalité de Wirtinger, ce qui donne l'expression de x(s). D'autre part pour que cette intégrale s'annule, on doit avoir y'(s)=x(s). Ces deux conditions donnent bien un cercle de rayon 1, paramétré à vitesse uniforme. Et bien sûr tous les cercles sont solutions, quelle que soit la façon de les paramétrer car leur aire est égale à π.r2 et leur périmètre à 2π.r, si r désigne le rayon.
Les démonstrations historiques ont toutes un chainon manquant. Elles montrent qu'une surface, polygonale ou quelconque, qui ne possède pas la bonne propriété : être régulier ou être un disque, n'est pas un optimum. En revanche, elle ne montre pas qu'un tel optimum existe. Une fois l'existence d'un tel optimum démontrée, on sait alors qu'il est unique et l'on connait sa géométrie. Mais la démonstration de cette existence est l'élément qui bloque les démonstrations pendant de si nombreux siècles. Elle demande une compréhension d'un aspect alors mal maitrisé de la géométrie : la topologie.
Les preuves actuelles procèdent d'une démarche encore inconnue à l'époque de Steiner. La géométrie étudiée n'est plus le plan euclidien, support de la surface étudiée, mais un univers où chaque point est une surface. Elle est illustrée sur la figure de gauche dans le cas particulier des triangles. La fonction considérée est celle qui, à un triangle de périmètre 3, associe son aire. Le triangle est représenté par deux paramètres, c la longueur d'une arête et φ l'angle entre deux arêtes dont celle de longueur c. Si l'angle est de mesure nulle ou égale à π, l'aire est nulle, il en est de même si c est égal à 0 ou à 3/2. La représentation graphique montre que le maximum est bien atteint. Dans ce cas particulier, le sommet est le triangle décrit par le couple (1, π/3).
Dans le cas des polygones à n sommets, où n est un entier supérieur à 2, la configuration est relativement simple. On identifie un polygone à un vecteur de R2n. L'ensemble des polygones devient une partie d'un espace vectoriel euclidien, cette fois-ci, de dimension 2n. La topologie d'un espace euclidien dispose d'une propriété adéquate. Un théorème assure que les ensembles fermés et bornés sont des compacts. La fonction, qui à un polygone associe son aire est continue. Un des charmes des compacts est que toute fonction continue, définie sur un compact et à valeur dans R atteint ses bornes. La configuration est analogue à celle de la figure de gauche. Ce qui permet d'établir le chainon manquant :
Pour le cas général, une démarche analogue à la précédente ne permet pas de conclure. En se limitant aux convexes compacts, la zone qui nous intéresse est bien un fermé borné, mais la dimension de l'espace est ici infinie. Or si la dimension n'est pas finie, le théorème de Riesz montre qu'un fermé borné comme la boule unité n'est jamais compact. De plus, la fonction périmètre n'est plus continue, on peut approcher de plus en plus précisément un disque de rayon 1 par des carrés de plus en plus petits, l'approximation garde un périmètre égal à 8 sans s'approcher de la valeur 2π, même si elle devient excellente.
En revanche, il est possible d'approcher précisément la frontière d'un convexe compact par un polygone de périmètre plus petit et de surface presque égale à celle du convexe. Cette propriété, et le fait d'avoir établi le théorème isopérimétrique pour les polygones, permet aisément de montrer qu'aucune surface de périmètre p ne peut posséder une aire supérieure à celle d'un disque de même périmètre. Le disque est ainsi un des optimums recherchés, et les travaux de Steiner montrent que cet optimum est unique.
On munit le plan d'un repère orthonormal, et on considère l'application, qui à un polygone convexe à n sommets, associe dans R2n la suite des coordonnées de ses sommets. Ici R désigne l'ensemble des nombres réels et R2n l'espace vectoriel canonique de dimension 2n. Réciproquement à tout élément u de R2n, on associe l'enveloppe convexe des points ayant comme suite de cordonnées u. On obtient une application de R2n dans l'ensemble des polygones ayant un nombre de sommets inférieur ou égal à n. Cette application n'est pas injective, mais est surjective.
Soit φ la fonction de R2n dans R2, qui associe à un vecteur u le barycentre des n vecteurs dont u est la suite des coordonnées. La fonction φ est continue, l'image réciproque du vecteur nul est un fermé de R2n (car le vecteur nul est lui-même un fermé de R2), que l'on note F1. On ne cherche que des solutions dans ce fermé, ce qui n'est pas contraignant. En effet, si un polygone P est une solution quelconque du problème isopérimétrique, la translation de P par l'opposé de son barycentre est une solution dans F1. Comme la translation est une isométrie, les propriétés géométriques de l'image par la translation sont les mêmes que celle de P.
Soit ψ l'application de R2n dans R qui associe à un vecteur u le périmètre du polygone associé à u. Cette application est encore continue et l'image réciproque du nombre réel p est encore un fermé F2 de R2n. L'intersection C de F1 et de F2 est fermé, car intersection de deux fermés. Cet ensemble est aussi borné. Un vecteur est dans F1 seulement si l'enveloppe convexe des vecteurs de dimension 2 contient le vecteur nul. Le segment allant du vecteur nul à un l'un des vecteurs de dimension 2 possède une longueur inférieure à la moitié du périmètre de l'enveloppe convexe. Un élément de C ne possède donc aucune coordonnée supérieure à la moitié de p. L'ensemble C possède les bonnes propriétés pour conclure. Si une solution au problème isopérimétrique posé existe, on en trouve nécessairement au moins une dans C. De plus, C est un fermé borné, or dans un espace vectoriel de dimension finie, comme R2n, les fermés bornés sont des compacts.
On considère l'application ξ de R2n dans R, qui à un vecteur u associe la surface de son polygone. Cette application est définie et continue sur le compact C. L'image de C par ξ est un compact, la borne supérieure de cet ensemble est atteinte car tout compact de R contient sa borne supérieure. L'enveloppe convexe d'un vecteur u ayant pour image par ξ cette borne supérieure, est un polygone ayant au plus n côtés, de périmètre p et de surface maximale. C'est une solution au problème isopérimétrique posé.
On raisonne par l'absurde. Quitte à effectuer une homothétie, on suppose qu'il existe une surface S de périmètre égal à 2π et d'aire égal à π + A, où A est un nombre réel strictement positif. On suppose que S est convexe, sinon, il est toujours possible de choisir son enveloppe convexe de périmètre plus petit et d'aire plus grande.
On construit un polygone de périmètre plus petit que 2π et d'aire supérieure à π + A/2. La démonstration précédente montre qu'un tel polygone n'existe pas, ce qui démontre que la surface S ne peut pas plus exister et constitue l'absurdité recherchée. Ce polygone est illustré sur la figure de droite. Soit ε un nombre réel strictement positif plus petit que 1 et que le rapport de A/6π. Enfin, soit P le polygone dont les sommets sont des points de la frontière de S, régulièrement espacés à une distance ε l'un de l'autre. Le polygone correspond à la figure constituée par les bases des carrés rouges. Il existe peut-être une arête du polygone de longueur inférieure à ε, celle la plus à droite sur la figure.
On considère l'enveloppe E constituée des points à une distance inférieure ou égale à ε de P. Cette enveloppe est l'union de l'intérieur du polygone P, en bleu, des carrés rouges d'arêtes de longueur ε et de portions d'un disque de rayon ε, en vert sur la figure. L'union des portions vertes forme un disque complet. L'aire ae de l'enveloppe E est la somme des aires de ces différentes surfaces. Si pp désigne le périmètre du polygone, on obtient :
Le périmètre du polygone est par construction plus petit que celui de la surface S, qui est égale à 2π, on en déduit :
Un petit lemme, démontré ci-dessous, montre que l'enveloppe E contient la surface S. L'aire de S, c'est-à-dire π + A est en conséquence plus petite que celle de ae :
On a bien construit un polygone d'aire strictement supérieure à π et de périmètre strictement inférieur à 2π. Or aucun polygone de même périmètre qu'un disque ne possède une aire supérieure à celle du disque : ce résultat est absurde. Cette absurdité montre qu'une surface S d'aire strictement supérieure à celle d'un disque de même périmètre ne peut exister.
Il ne reste plus qu'à étudier le cas de l'égalité. La preuve précédente montre qu'il existe bien au moins une surface d'aire optimale pour un périmètre donné, le disque. La démonstration de Steiner montre que, si une telle surface existe, elle est nécessairement un disque.
On raisonne par l'absurde et on suppose l'existence d'un point Q de S qui ne soit pas élément de E. La figure illustrative est à droite, la surface E est celle sur fond rouge. La convexité de S met en évidence une absurdité. On utilise un théorème indiquant qu'il existe une droite d'appui pour chaque point de la frontière d'un convexe. C'est-à-dire une droite passant par le point frontière et séparant le plan en deux demi-plans dont l'un est fermé. Ce demi-plan fermé contient l'intégralité du convexe.
Soit M un point de l'intérieur du polygone P. On considère le segment d'extrémité Q et M. Ce segment croise la frontière du polygone et il existe une arête AB dont l'intersection avec le segment QM est non vide. Ce point d'intersection ne peut être un sommet. En effet, si ce point est un sommet, par exemple A, comme A est aussi un point frontière de S, il possède une droite d'appui, qui est nécessairement celle passant par Q et M car ces deux points sont élément de S. Or un voisinage de M est contenu dans l'intérieur du polygone et donc dans celui de S, ce voisinage contient des points de chaque côté de la droite, ce qui est impossible.
Considérons la frontière du convexe S entre A et B, en bleu sur la figure ; elle traverse la droite QM. Soit C le point d'intersection, par construction du polygone P, le point C est à une distance inférieure à ε de A et se trouve dans E, à la différence de P qui n'est pas élément de E, ces deux points sont donc différents. Le point C est un point frontière du convexe S, il possède une droite d'appui. Le même argument que celui utilisé précédemment montre que cette droite d'appui est nécessairement celle passant par Q et M. Or, on a vu qu'une telle droite ne peut être une droite d'appui.
On pourrait croire que les deux démonstrations précédentes closent le débat du problème isopérimétrique du plan euclidien E. Il n'en est rien. La démarche d'Hurwitz n'apporte aucune information si la frontière n'est pas suffisamment lisse. Celle présentée au dernier paragraphe se généralise mal aux dimensions supérieures. A partir de la dimension 3, il ne faut plus espérer trouver des polyèdres convexes réguliers, encore appelés solides de Platon approchant avec la précision voulue la sphère. Il n'existe que 5 solides de ce type.
Hausdorff et Minkowski développent une autre approche, fondée sur une géométrie un peu différente. Ici, le terme de géométrie désigne l'étude d'un ensemble muni d'une distance et d'une opération algébrique compatible. L'espace considéré est celui des compacts non vides, la distance celle de Hausdorff et l'opération est la somme de Minkowski, dont la compatibilité avec la distance se traduit par la continuité de l'opération. La somme de Minkowski P + Q correspond à l'ensemble des sommes dont le premier membre est élément de P et le second de Q :
Si S désigne un convexe compact non vide et t.B la boule fermée de centre le vecteur nul et de rayon t, l'aire de la somme S + t.B prend la forme suivante, connue sous le nom de formule de Steiner-Minkowski :
Ici, a désigne l'aire de S et p son périmètre. Cette somme est illustrée sur la figure de gauche dans le cas d'un hexagone. La somme correspond à l'ensemble des points du plan à une distance inférieure ou égale à t de S. Appliquer à l'hexagone jaune de la figure de gauche, on peut décomposer cette somme en trois régions. La première correspond à la figure initiale S en jaune, la deuxième aux points situés sur un rectangle de côté une arête du polygone et de largeur t, correspondant aux 6 rectangles bleus. L'aire des surfaces bleues est égale à p.t. Enfin, à chaque sommet est associée une portion de disque de rayon t, en vert sur la figure. L'union de ces portions de disque forme un disque complet, d'où le dernier terme de la formule. La démonstration dans le cas non polygonal est donnée dans l'article détaillé.
La surface s'exprime comme un polynôme de degré 2, son discriminant est égal à p2 - 4π.a. On reconnait là le terme de l'inégalité isopérimétrique. Démontrer le théorème revient à dire que le discriminant n'est jamais négatif, ou encore que le polynôme admet au moins une racine. Ce résultat s'obtient directement comme une conséquence de l'inégalité de Brunn-Minkowski.
A y regarder de près, le paragraphe précédent propose bien une méthode généralisable pour montrer l'inégalité isopérimétrique, mais elle n'indique pas comment traiter le cas de l'égalité. Plus précisément, la démonstration n'indique pas que seul le cercle est la solution, partie difficile de la démonstration qui a bloqué tant de monde depuis l'Antiquité.
Il existe bien une preuve, donnée dans l'article isopérimétrie et fondée sur une symétrisation de Steiner. Elle est mal commode à généraliser en dimension quelconque. Bonnesen trouve une expression simple, en fonction d'un cercle inscrit et d'un circonscrit. Le cercle est dit inscrit dans un compact S s'il est inclus dans S et si son rayon r est maximal. Un cercle est dit circonscrit dans S s'il contient S et si son rayon R est minimal. L'inégalité de Bonnesen s'exprime de la manière suivante, si a est l'aire du compact et p son périmètre :
Ce résultat signifie que le discriminant du polynôme du second degré, qui à t associe l'aire de la surface S + t.B admet deux racines distinctes si un cercle inscrit possède un rayon strictement plus petit qu'un cercle circonscrit. Autrement dit, pour le l'égalité isopérimétrique ait lieu, il est nécessaire que les deux rayons soient égaux, ce qui ne peut arriver que pour le cercle. Un autre résultat, un peu plus fort indique que les deux valeurs -R et -r se situent entre les deux racines, comme illustré sur la figure de droite. De la même manière, on en déduit la nécessité de l'égalité entre R et r pour atteindre l'optimal.
On considère un compact convexe non vide S, un cercle inscrit, de rayon r et un cercle circonscrit C de rayon R. Cette situation est illustrée sur la figure de gauche, le compact convexe est le carré violet, le cercle C est illustré en bleu et le cercle inscrit en vert. La technique utilisée consiste à considérer la zone bleue Z correspondant aux points de C qui ne sont pas dans S. La surface Z + r.B est doublement mesurée, les symboles r.B désignent ici la boule unité de rayon r et de centre le vecteur nul. Cette figure recouvre intégralement S et définit un disque de rayon R + r, illustré en jaune. On en déduit une première égalité :
On découpe alors la surface Z en deux par une droite Δ passant par les centres des deux cercles inscrit et circonscrit. La partie supérieure de Z est notée Zs, comme indiquée sur l'illustration à droite. La somme de Minkowski de Zs et de r.B correspond, dans la partie supérieure à la droite Δ, à un demi-disque, de rayon R + r. Si l1 et l2 sont les longueurs des deux intersections de Z avec Δ (voir la figure), l'intersection de la somme avec la partie inférieure à la droite Δ possède une aire égale à π.r2 + (l1 + l2)r. On en déduit l'égalité :
Il est aussi possible d'évaluer cet aire à l'aide de la formule de Steiner-Minkowski. Comme Zs n'est pas convexe, la formule est une majoration et non pas une égalité :
Ici ps désigne la longueur de la partie supérieure de la frontière de S. On peut appliquer exactement le même raisonnement à la partie inférieure à la droite Δ. En utilisant l'indice i pour décrire la partie inférieure, on obtient :
En sommant les deux majorations :
Le périmètre p de S est en effet la somme de ps et de pi. L'aire de Z est aussi égale à la différence de l'aire d'un disque de rayon R avec l'aire a de S, ce qui donne :
La dernière majoration signifie que -r est d'image négative par le polynôme associant à t l'aire de S + tB.
On applique exactement le même raisonnement que le précédent en remplaçant Z par C, le cercle de rayon R et le coefficient r par R, le rayon d'un cercle circonscrit. On obtient la majoration :
La valeur 0 correspond à l'aire du cercle C. Elle est majorée par la différence entre l'aire du disque de rayon R et celle de S, on obtient :
Ce qui démontre la proposition.
Dire que -r et -R ont une image négative par le polynôme revient à dire que ces valeurs se trouvent entre les racines :
Cela signifie aussi que la distance qui sépare R et r est plus petite que le rapport entre le discriminant et π :
La démonstration de la majoration est l'œuvre de Bonnesen en 1921. La démonstration présentée ici, qui montre que les deux rayons sont situés entre les deux racines est celle d'Hadwiger et est plus tardive.