Théorème des fonctions implicites - Définition

Dimension deux

Premier exemple

Le théorème de l'article indique que pour un point A, il existe un voisinage de A tel que la figure soit le graphe d'une fonction, ce graphe contient le point A. Dans l'exemple illustré, la fonction associée au point A est celle qui à x associe la racine carrée de 1 - x².

Il existe de multiple manières de définir une figure géométrique dans le plan. Ainsi, l'ensemble des points à distance 1 d'une origine O, définit un cercle. Cette même figure, d'après le théorème de Pythagore, se définit aussi par une équation cartésienne : x² + y² - 1 = 0. On peut encore la définir à l'aide d'une équation paramétrique, le cercle correspond à l'image du segment [0, 2π] par la fonction qui à θ, associe (cos θ, sin θ).

Le théorème de l'article permet, à l'aide d'une équation cartésienne, d'obtenir une équation paramétrique, mais pas de la même nature que celle citée en exemple. Il fournit bien des représentations sous forme d'une équation paramétrique, mais la courbe correspond à l'image d'une fonction qui à x associe (x, φ(x)). Plus simplement, on peut considérer que la courbe est localement le graphe de la fonction φ, ainsi cette forme particulière d'équation paramétrique est définie par une fonction de R dans R et non de R dans le plan.

Dans le cas du cercle, une première difficulté apparaît, pour un point x compris strictement entre -1 et 1, il existe deux valeurs de y possibles. Le théorème est uniquement local, c'est-à-dire qu'il permet de fournir une partie seulement de la figure géométrique et ne peut, dans le cas général, la décrire tout entière.

En revanche, pour un point A de la figure, le théorème permet théoriquement de fournir une équation paramétrique d'un voisinage du point A, ce qui signifie, si (x₀, y₀) sont les coordonnées du point A, qu'il existe un intervalle ouvert ]a, b[ contenant x₀ sur lequel est décrit la figure. Ce résultat ne peut pas être toujours vrai, le point B, dont l'abscisse est égale à 1, est un contre exemple. A l'exception du point B et pour toute abscisse suffisamment proche de 1, correspond deux ordonnées possibles. Le théorème ne peut s'appliquer en ce point.

Une remarque permet de détecter une propriété de ce point B. Si un point décrivant le cercle varie autour de B, sa deuxième coordonnée reste presque immobile. Une manière de le percevoir rigoureusement est de considérer l'équation cartésienne comme une fonction de la variable y ayant x comme paramètre. Si l'on dérive cette fonction, on obtient l'expression 2.y. Cette dérivée est appelée dérivée partielle, par rapport à la deuxième variable. Au point B, l'ordonnée est nulle et la dérivée partielle est aussi nulle. Le théorème indique que si cette dérivée partielle n'est pas nulle pour les coordonnées d'un point A, il est toujours possible de représenter le voisinage de A comme le graphe d'une fonction. Dans l'exemple choisi, la fonction est.

Courbe algébrique

Si l'exemple précédent montre la mécanique et la portée du résultat de l'article, il n'en illustre guère son intérêt. Il est inutile de faire appel à ce puissant théorème pour trouver les deux fonctions dont l'union des graphes forment un cercle. L'exemple suivant est plus révélateur d'un usage possible. Il correspond à l'étude de la figure vérifiant l'équation cartésienne :

Une manière de visualiser cette figure, est de considérer la nappe qui au point du plan de coordonnées (x, y) associe le terme de gauche de l'équation. Cette nappe est illustrée à gauche, la partie ayant une coordonnée verticale supérieure à 0 est en jaune ou vert et l'autre partie en bleu ou rouge. La courbe définie par l'équation est celle obtenue si la nappe est coupée au plan z = 0, qui correspond à la frontière entre les zones jaune et bleu. Pour une meilleure visibilité, il est possible de se placer verticalement au-dessus de la nappe et d'y ajouter un repère, ce qui est fait sur la figure de droite. Tenter une résolution directe est hasardeux, le théorème de l'article, facilite l'étude.

Commençons par quelques remarques géométriques simples sur la zone des abscisses positives. Si x est strictement plus grand que 10, l'expression x(x² + y²) est strictement plus grande que 10(x² - y²), la courbe recherchée ne possède aucun point d'abscisse strictement supérieure à 10 et le point de plus grande abscisse est unique et de coordonnées (10, 0). Le théorème des fonctions implicites indique que pour les abscisses situées dans l'intervalle ]0,10[, il existe un paramétrage si l'expression suivante, notée d(x), n'est pas nulle :

L'expression d(x) ne s'annule sur la zone étudiée, que pour les ordonnées nulles (seule la zone des abscisses positives est étudiée ici) et ceux sur la droite x + 10.y = 0, qui ne rencontre pas la courbe pour les abscisses strictement positives. Pour les autres points (x₀, y₀), on obtient une expression de la dérivée du paramétrage φ au point x₀.

Selon la zone où se trouve le point étudié, on sait si la fonction de paramétrage est croissant ou décroissant. A l'intérieur d'une ellipse, illustrée en vert sur la figure de droite, le paramétrage est croissant. Sur l'ellipse, le paramétrage possède une dérivée nulle, elle possède le point de coordonnées (6, 3) en commun avec la courbe recherchée. Et à l'extérieur, dans la zone rouge, le paramétrage est strictement décroissant.