Soit un corps commutatif, E, un -espace vectoriel de dimension finie, et un endomorphisme de E.
Cette donnée de u est en fait équivalente à la donnée d'une structure de -module sur E : si P est un polynôme de , et x un élément de E, alors P agit sur x par :
L'anneau étant euclidien, le théorème des facteurs invariants assure l'existence d'un isomorphisme de -modules :
avec . On remarque qu'il ne peut y avoir de partie -libre, puisque l'espace E est de -dimension finie. Notons pour chaque i : di = deg(Pi). Soit la -base de E déduite par l'isomorphisme précédent de la -base canonique du module de droite : xi correspond à , où le coefficient 1 apparaît sur la ième composante. Alors, la famille :
constitue une -base de E. La matrice de l'endomorphisme u dans cette base est :
où chaque est la matrice compagnon du polynôme Pi. La particularisation du théorème des facteurs invariants dans ce cadre est parfois appelé théorème de Frobenius.
Cette décomposition permet de trouver des polynômes annulateurs de l'endomorphisme u ; en effet, pour tout i, Pi(u)(xi) = 0 ; et donc, par la relation de divisibilité : Pt(u) = 0. Par ailleurs, la famille étant -libre, aucun polynôme de degré inférieur à dt ne peut annuler u. Ainsi, le polynôme Pt est le polynôme minimal de u ; et le polynôme est son polynôme caractéristique.
La suite (avec relations de divisibilité, polynômes choisis unitaires) caractérise la classe de similitude d'un endomorphisme (ou d'une matrice). On l'appelle suite des invariants de similitude de l'endomorphisme (ou d'une matrice).
En pratique, la suite des invariants de similitude d'une matrice se calcule en remarquant qu'elle se déduit de la suite des facteurs invariants de la matrice , en enlevant de celle-ci les facteurs invariants inversibles (c'est-à-dire les polynômes constants).