Théorème des facteurs invariants - Définition

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Application aux invariants de similitude

Soit \mathbb{K} un corps commutatif, E, un \mathbb{K}-espace vectoriel de dimension finie, et u\in\mathcal{L}(E) un endomorphisme de E.

Cette donnée de u est en fait équivalente à la donnée d'une structure de \mathbb{K}[X]-module sur E : si P est un polynôme de \mathbb{K}[X], et x un élément de E, alors P agit sur x par :

P.x = P(u)(x)

L'anneau \mathbb{K}[X] étant euclidien, le théorème des facteurs invariants assure l'existence d'un isomorphisme de \mathbb{K}[X]-modules :

E\simeq \mathbb{K}[X]/(P_1)\oplus\dots\oplus\mathbb{K}[X]/(P_t)

avec P_1\mid\dots\mid P_t. On remarque qu'il ne peut y avoir de partie \mathbb{K}[X]-libre, puisque l'espace E est de \mathbb{K}-dimension finie. Notons pour chaque i : di = deg(Pi). Soit (x_1,\dots,x_t) la \mathbb{K}[X]-base de E déduite par l'isomorphisme précédent de la \mathbb{K}[X]-base canonique du module de droite : xi correspond à (0,\dots,1,\dots,0), où le coefficient 1 apparaît sur la ième composante. Alors, la famille :

(x_1,u(x_1),\dots,u^{d_1-1}(x_1),x_2,\dots,u^{d_2-1}(x_2),\dots,x_t,\dots,u^{d_t-1}(x_t))

constitue une \mathbb{K}-base de E. La matrice de l'endomorphisme u dans cette base est :

\begin{pmatrix}\mathcal{C}_{P_1}&&\\&\ddots&\\&&\mathcal{C}_{P_t}\\\end{pmatrix}

où chaque \mathcal{C}_{P_i} est la matrice compagnon du polynôme Pi. La particularisation du théorème des facteurs invariants dans ce cadre est parfois appelé théorème de Frobenius.

Cette décomposition permet de trouver des polynômes annulateurs de l'endomorphisme u ; en effet, pour tout i, Pi(u)(xi) = 0 ; et donc, par la relation de divisibilité : Pt(u) = 0. Par ailleurs, la famille (x_t,\dots,u^{d_t-1}(x_t)) étant \mathbb{K}-libre, aucun polynôme de degré inférieur à dt ne peut annuler u. Ainsi, le polynôme Pt est le polynôme minimal de u ; et le polynôme P_1\dots P_t est son polynôme caractéristique.

Théorème

La suite P_1,\dots,P_t (avec relations de divisibilité, polynômes choisis unitaires) caractérise la classe de similitude d'un endomorphisme (ou d'une matrice). On l'appelle suite des invariants de similitude de l'endomorphisme (ou d'une matrice).

Calcul des invariants de similitude

En pratique, la suite des invariants de similitude d'une matrice A\in M_n(\mathbb{K}) se calcule en remarquant qu'elle se déduit de la suite des facteurs invariants de la matrice , en enlevant de celle-ci les facteurs invariants inversibles (c'est-à-dire les polynômes constants).

Réduction de Jordan

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