Théorème des deux carrés de Fermat - Définition

• Si un entier n est somme de deux carrés, alors le reste de la division de n par 4 n'est jamais égal à 3.

Cette propriété provient du fait que la division d'un carré par 4 ne peut donner pour reste qu'une des deux valeurs 0 ou 1. En effet, soit a un entier :

1. S'il est pair, il existe un entier m tel que a est égal à 2.m. Le carré de a est égal à 4.m² qui est un multiple de 4, le reste de la division par 4 est égal à 0.
2. S'il est impair, il existe un entier m tel que a est égal à 2.m + 1. L'identité remarquable ci-dessous montre que son carré est la somme d'un multiple de 4 et de 1, le reste de la division par 4 est égal à 1.

Si n est somme de deux carrés, notée n = a² + b², trois cas se présentent : a et b sont pairs, leurs carrés sont des multiples de 4 et leur somme est aussi un multiple de 4, l'un des deux est impair et l'autre pair alors la somme des carrés est la somme de deux multiples de 4 et de 1 et la division de la somme donne pour reste 1, enfin ils sont tous deux impairs et la somme des carrés est égal à la somme de deux multiples de 4 et de 2. Aucune configuration ne donne pour reste 3.

• Si deux entiers n et m sont sommes de deux carrés, alors leur produit est aussi somme de deux carrés.

Comme n et m sont sommes de deux carrés il existe quatre entiers a, b, c et d tel que les égalités suivantes soient vérifiées :

Cette proposition est la conséquence de l'identité de Diophante, qui s'énonce de la façon suivante :

Pour s'en convaincre, il suffit de développer, puis factoriser le terme de droite :

Une nouvelle factorisation montre l'égalité recherchée :

• Si un nombre premier p est somme de deux carrés, alors les deux carrés sont uniques :

En effet, soit a² + b² et c² + d² deux sommes de deux carrés égal à p. On suppose ici que a, b, c et d sont quatre entiers positifs. Ils sont même strictement positifs, car si tel n'était pas le cas p serait un carré parfait, ce qui est impossible pour un nombre premier.

Montrons que p divise a.d - b.c et a.d + b.c. Pour cela, le calcul suivant est utile :

Le nombre premier p divise le produit de ad - bc par ad + bc. Le lemme d'Euclide montre que p divise l'un des deux facteurs. Si ad - bc est divisé par p, c'est-à-dire s'il existe un entier k₁ tel que ad - bc = k₁.p, on procède de la manière suivante. L'identité de Brahmagupta indique que :

Ce qui montre que ac + bd est aussi un multiple de p et il existe un entier k₂ tel que ac + bd = k₂.p. L'égalité précédente s'écrit p² = k₁².p² + k₂².p², et donc k₁² + k₂² est égal à un. Comme k₁ et k₂ sont deux entiers, l'un est nul l'autre est en valeur absolue égal à un. Il suffit de remarquer que ac + bd est strictement positif, car somme de produits de terme strictement positifs, pour conclure que k₁ est nul, et ad - bc est aussi nul. Les deux vecteurs (a, b) et (c, d) sont proportionnels, ce qui montre l'existence d'un entier λ strictement positif tel que c = λ.a et d = λ.b. On en déduit que la somme c² + d² est égal à λ².p et donc que λ est égal à un.

Si ad + bc est un multiple de p, l'égalité suivante montre que ac - bd est aussi un multiple de p :

Le raisonnement précédent s'applique encore, il montre cette fois que a est égal à d et b à c. Les carrés sont identiques mais l'ordre est inversé.

• Si un entier n, somme de deux carrés, est divisible par un nombre premier m, somme de deux carrés, alors le quotient est lui-même somme de deux carrés :

Notons n = a² + b² et m = p² + q². Le raisonnement est analogue au précédent. Si n est divisible par le nombre premier m. Alors m divise le produit suivant :

L'entier m est un nombre premier, le lemme d'Euclide indique qu'il divise l'un des deux facteurs, par exemple p.b - a.q. Comme lors de la démonstration précédente, l' identité de Brahmagupta montre que :

Ainsi, m divise (a.p + b.q)², l'équation peut donc être divisée par le carré de m :

Ce qui démontre la proposition.

Si m² divise p.b + a.q, un argument de même nature peut être utilisé avec : qui est une autre forme de l'identité de Brahmagupta.

• Si un nombre n, somme de deux carrés, est divisible par un nombre m, qui n'est pas somme de deux carrés, alors le quotient q contient un facteur qui n'est pas somme de deux carrés.

Notons q = q₁.q₂. ... .q_k, la décomposition du quotient en facteurs premiers. Alors n = m.q₁.q₂. ... .q_k. Si chaque facteur q_i est somme de deux carrés, la proposition précédente montre qu'il est possible de diviser n successivement par chaque q_i et d'obtenir chaque fois un entier somme de deux carrés. Ce raisonnement montre que m est alors somme de deux carrés. La contraposée montre que si m n'est pas somme de deux carrés, alors au moins un q_i n'est pas somme de deux carrés.

• Démonstration à base d'arithmétique modulaire :

La question revient à montrer que la classe de -1 est un carré dans le corps Z/pZ si p - 1 est égal à 4.n, avec n un entier strictement positif. Le groupe multiplicatif de (Z/pZ)^* est un groupe cyclique comptant 4.n éléments. Soit g un générateur de ce groupe. L'élément -1 est l'unique élément du groupe différent de l'unité et dont le carré est égal à l'unité. Cet élément est égal à g^2.n, il est effectivement différent de l'unité, sinon g ne serait pas un générateur et le théorème de Lagrange, équivalent du petit théorème de Fermat avec ce formalisme, montre que son carré est égal à un. La valeur gⁿ est donc un élément du groupe multiplicatif dont le carré est égal à -1.

• Démonstration sans arithmétique modulaire :

Ici, n désigne encore l'entier tel que p = 4.n + 1. Le petit théorème de Fermat montre que si x est un entier, alors x⁴ⁿ - 1 = (x²ⁿ - 1).(x²ⁿ + 1) est un multiple de p. Comme p est premier, l'un des deux facteurs de l'égalité est un multiple de p. Il suffit de trouver un entier a tel que a²ⁿ - 1 n'est un multiple de p, alors a²ⁿ + 1 l'est nécessairement et aⁿ est la solution recherchée.

Considérons la suite de polynômes P_n[X] définie par récurrence de la manière suivante :

On remarque que si i est un entier compris entre 1 et 2.n, alors P_i[X] est un polynôme de degré 2.n - i et de monôme dominant ayant un coefficient égal au produit (2.n).(2.n - 1). ... .(2.n - i + 1 ). On en déduit que P_2.n[X] est un polynôme constant égal à (2.n)! (ici le symbole ! désigne la fonction factorielle). Comme p est premier et supérieur à 2n, il n'est pas diviseur de (2.n)!. Or, P_2.n[X], est combinaison linéaire à coefficients dans Z (l'ensemble des entiers), de valeurs que prend le polynôme P₀[X] sur les entiers. Une de ces valeurs, notée a n'est donc pas un multiple de p. Comme P₀[a] n'est pas un multiple de p, a^2.n + 1 l'est, ce qui termine la démonstration.

On raisonne par l'absurde. On suppose qu'il existe un entier strictement positif n₀ somme de deux carrés a² + b² et contenant un facteur premier qui ne soit pas somme de deux carrés. On suppose de plus que a et b sont premiers entre eux et quitte à intervertir les notations, on choisit a supérieur ou égal à b. L'entier n₀ contient au moins deux facteurs premiers qui ne sont pas somme de deux carrés, car n₀ est somme de deux carrés (cf la troisième proposition du paragraphe Conséquences de l'identité de Brahmagupta). Notons p le plus petit des deux et q l'entier tel que p.q soit égal à n₀. L'entier q est plus grand que p car il contient un facteur au moins égal à lui.

L'objectif est construire un entier n₁ strictement plus petit que n₀, strictement positif et possédant les mêmes propriétés. Remarquons que :

Soit α₁ (resp. α₂) les entiers positifs et r₁ (resp. r₂) les entiers en valeur absolue inférieur à la moitié de p tel que :

En remplaçant a et b par leurs valeurs, on obtient :

L'objectif est de montrer que q est strictement plus grand que q₁. On remarque que :

Les définitions de r₁ et r₂ montrent que la différence est toujours positive. La majoration (3) montre que α₁ est strictement positif, le terme α₁(α₁ + 2r₁) n'est nul que si p est égal à -2r₁ et α₁ est égal à un. Dans ce cas p est égal à 2.a. Cette configuration est impossible car alors a et b ne peuvent être premiers entre eux. La différence est donc toujours strictement positive.

Une propriété n'est pas encore assurée. Rien ne garantit que les valeurs absolues de r₁ et r₂ sont premières entre elles. Supposons qu'elles admettent un diviseur commun et notons d leur plus grand commun diviseur. d ne peut diviser p car il diviserait alors a et b qui sont premiers entre eux. En conséquence d divise q₁. Soit a' (resp. b' ) le quotient de la valeur absolue de r₁ (resp. r₂) par d et q'₁ le quotient de q₁ par d ². Notons n₁ le produit de p par q'₁. Alors a' et b' sont deux entiers positifs premiers entre eux tels que :

Et l'entier n₁ contient un facteur premier p qui n'est pas somme de deux carrés. En réitérant le raisonnement, il existe une suite (n_i) strictement décroissante et infinie d'entiers positifs. La logique de la méthode de la descente infinie permet de conclure que chaque facteur premier de n₀ est somme de deux carrés.

La démonstration proposée ici est plus riche que celle nécessaire pour démontrer le théorème des deux carrés de Fermat. Si l'objectif est uniquement de prouver le théorème, il suffit de résoudre l'équation (1), ce qui est fait en partie 3) de la démonstration présentée ici.

La démonstration proposée ici montre l'existence d'une base orthonormale pour la forme bilinéaire φ dont la matrice dans la base canonique est égale à M. Dans un premier temps, trouvons un vecteur u ayant pour image par φ l'entier un. Notons (x₀, y₀) ses coordonnées, entières par définition. Z² est inclus dans R² (ici R désigne l'ensemble des nombres réels), la base canonique est aussi une base de R² et la matrice M permet de prolonger φ sur R². Soit ψ la forme quadratique associée à φ.

1. Détermination de la coordonnée y_R dans R tel que le vecteur de R² (x₀, y_R) soit minimal par ψ.

L'application qui à y associe l'image par ψ du vecteur de coordonnées (x₀, y) est parabolique et admet un minimum dans R noté y_R. On a :

Si m est égal à zéro, le calcul du déterminant montre que p et q sont égaux à un et φ possède bien une représentation matricielle égale à l'identité. Si m est différent de zéro, alors q l'est aussi et :

2. Détermination des propriétés de y₀.

Le point y₀ est l'entier le plus proche de y_R. Soit h₀ la distance entre ces deux points, c'est-à-dire le réel inférieur à 1/2 en valeur absolue satisfaisant l'égalité : y₀ = y_R + h₀. Ces points vérifient les égalités :

Trouver le point u revient à trouver un vecteur de coordonnées entières (x₀, y₀) d'image par ψ strictement inférieur à deux, c'est-à-dire si r ₀ est égal à q.h₀ :

3. Existence de u.

Soit r_i le résultat de la division euclidienne de m.i par q, θ l'entier positif tel que θ² est plus petit ou égal à q et θ² + 1 est strictement plus grand que q. Considérons l'ensemble des intervalles [i.θ + 1, (i + 1).θ] où i décrit les entiers de zéro à θ et la suite finie (r_j) où j décrit les entiers de un à θ.

S'il existe un élément de la suite finie r_k se situant dans l'intervalle [0, θ] alors les valeurs k pour x₀ et r_k pour r₀ satisfont les propriétés (1). En effet, r_k au carré est plus strictement plus petit que q et k² + r_k² est strictement plus petit que 2q. Si r_k se situe dans le dernier intervalle, alors les valeurs k pour x₀ et q - r_k pour r₀ satisfont encore les propriétés (1). Dans les deux cas, il est possible de construire le vecteur u.

On remarque que la suite (r_i) contient θ éléments et qu'il existe θ + 1 intervalles. En conséquence, soit au moins l'un des intervalles extrêmes est couvert par un élément de la suite, soit un intervalle contient deux termes r_k et r_l (choisissons k plus grand que l). La distance entre les deux termes de la suite est strictement inférieure à θ, en conséquence r _k-l est à une distance strictement inférieure à θ de l'un des points 0 ou q et le système (1) admet encore une solution u obtenue avec x₀ égal à k-l et pour r₀ le minimum de r _k-l et q - r _k-l.

4. Existence de v tel que (u, v) soit orthonormale pour le produit scalaire φ :

Une fois le vecteur u trouvé, la recherche du deuxième vecteur est plus aisée. Soit Θ la rotation d'un quart de tour dans le sens direct et a l'application linéaire de matrice M dans la base canonique. Soit v l'image de u par aoΘ. Les vecteurs u et v sont bien orthogonaux pour la forme bilinéaire φ. En effet, il suffit de remarquer que a est orthogonal et, si (.,.) désigne le produit scalaire canonique alors :

On remarque ensuite que ψ(v) est égal à un :