Théorème de d'Alembert-Gauss - Définition

Montrons tout d'abord un lemme, qui correspond à un cas particulier d'équation polynomiale.

• L'équation xⁿ = a, où a est un nombre complexe et n un entier strictement positif, admet au moins une racine :

Pour démontrer ce résultat, le plus simple est d'écrire a sous sa forme polaire.

La formule de De Moivre montre l'existence d'un nombre complexe c tel que cⁿ soit égal à a :

On en déduit que r est bien une racine de l'équation étudiée.

Étudions maintenant le cas général.

• Il existe un point z₀ tel que le minimum du module de P(z) est atteint en z₀ :

La fonction qui à z associe le module de P(z) est à valeurs dans les réels positifs. Tout ensemble non vide et minoré de R admet une borne inférieure. L'ensemble image de la fonction |P(z)| est une partie non vide et minorée de R, elle admet donc un minimum, noté ici m.

Montrons qu'il existe une valeur M tel que si le module de z est plus grand que M, alors |P(z)| est supérieur à 2.m. L'inégalité triangulaire montre que :

Si le module de z est suffisamment grand, disons supérieur à une valeur M > 1, le terme K_z est plus grand que |a_n|/2 et |P(z)| est plus grand que Mⁿ|a_n|/2. Si M est choisi plus grand que 4.m/|a_n|, tout point z de module supérieur à M est tel que |P(z)| est plus grand que 2.m. Ceci montre que le minimum de |P(z)| sur les complexes de module inférieur à M est aussi le minimum de |P(z)| sur C.

Les complexes de modules inférieurs à M forment un compact, la fonction |P(z)| est continue, elle atteint son minimum sur les compacts, il existe donc un complexe z₀ tel que |P(z₀)| soit égal à m, ce qui démontre la proposition.

Pour une question de simplicité de rédaction, on note Q(z) le polynôme qui à z, associe la valeur P(z₀ + z). C'est un polynôme de même degré que P, et dont le module prend au point 0 sa valeur minimum, laquelle vaut m. On utilise les notations :

Ici, k désigne le plus petit indice strictement positif tel que le coefficient b_k soit non nul. Cet indice existe, car le polynôme est non constant.

Le lemme permet d'établir la proposition suivante, qui aboutit à une conclusion de la démonstration.

• Le point z₀ n'est pas le minimum du module de P(z) si m n'est pas nul :

Soit f(t) la fonction de la variable réelle à valeurs réelles, qui à t associe |Q(t.c)|, ici c désigne un complexe tel que c^k soit égal au produit de -b₀ et du conjugué de b _k (d'après le lemme). La fonction f s'écrit :

Ce qui montre que, si t est suffisamment petit en valeur absolue et plus petit que 1 :

Dans l'égalité précédente, N désigne un majorant de la somme des valeurs absolues des différentes valeurs de c _k. Si les valeurs de t sont, en valeur absolue, choisies plus petites que m.|b _k|²/(2.N) On obtient la majoration :

En conséquence, si t₀ est choisi strictement positif et suffisamment petit, f(t₀) est strictement plus petit que m, ce qui revient à dire que le module de l'image de z₀ + t₀.c est strictement plus petit que m, ce qui montre que m n'est pas le minimum et termine la démonstration.

Si m n'est pas nul, ce n'est pas le minimum de la fonction |P(z)|, ce qui est absurde car c'est sa définition. Autrement dit, m est nécessairement nul et P admet au moins une racine z₀.

• Tout polynôme réel de degré impair possède une racine réelle :

En effet, si le polynôme réel est de degré impair, ses limites en plus et moins l'infini sont de signes opposés, le théorème des valeurs intermédiaires montre l'existence d'une racine.

On en a fini avec l'analyse et on passe au cœur de la preuve, en prouvant que :

• Tout polynôme réel possède une racine complexe :

Pour F polynôme réel, on note d son degré, puis on pose d = 2ⁿq, où q est impair. La preuve est une récurrence sur n, l'initialisation n=0 ayant été traitée par la technique analytique.

Supposons le résultat connu pour tous les polynômes réels de degré non divisible par 2ⁿ et soit F réel de degré d = 2ⁿq (q impair). On peut, quelques instants, considérer F comme à coefficients complexes et introduire un corps de décomposition K pour F (comme on a pensé provisoirement F dans C[X], C⊆K) ; on note alors x_i (1 ≤ i ≤ d) ses racines dans K (éventuellement répétées autant de fois qu'elles sont multiples).

Pour chaque réel c on introduit le polynôme :

Ce polynôme est de degré d(d-1)/2 = 2^n-1q(d-1) qui n'est pas divisible par 2ⁿ. Les coefficients de G_c sont par ailleurs réels : en effet ce sont des polynômes symétriques à coefficients réels en les racines de F, ils peuvent donc être écrits comme des polynômes réels en les polynômes symétriques élémentaires en les racines de F, donc comme des polynômes réels en les coefficients de F, coefficients qu'on a supposés réels. On peut dès lors appliquer l'hypothèse de récurrence à G_c et conclure qu'une au moins de ses racines est complexe. On peut donc isoler deux indices i(c) et j(c) tels que :

L'ensemble R est infini alors que l'ensemble des couples d'indices est fini, et il existe deux réels c et d tels que i(c) = i(d) et j(c) = j(d) ; on note i = i(c) = i(d) et j = j(c) = j(d). Comme (x_i + x_j) + c(x_ix_j) et (x_i + x_j) + d(x_ix_j) sont complexes avec c ≠ d, on en déduit que x_i + x_j et x_ix_j sont aussi complexes, puis que x_i et x_j sont à leur tour racines d'un polynôme du second degré à coefficients complexes, donc complexes.

On a bien trouvé une racine complexe pour F (et même deux) .

• Fin de la preuve

Pour P polynôme à coefficients complexes, on considère le polynôme (la barre désignant la conjugaison coefficient par coefficient) qui est à coefficients réels. F a donc au moins une racine complexe ; on en déduit que P aussi.