Théorème de Thalès - Définition et Explications

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Introduction

Configuration possible du théorème

Le théorème de Thalès ou théorème d'intersection est un théorème de géométrie qui affirme que, dans un plan, une droite parallèle à l'un des côtés d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est...) sectionne ce dernier en un triangle semblable (voir énoncé précis ci-dessous). Dans certains pays (Pays vient du latin pagus qui désignait une subdivision territoriale et tribale d'étendue restreinte (de l'ordre de quelques centaines de km²),...) d'Europe (L’Europe est une région terrestre qui peut être considérée comme un continent à part entière, mais aussi comme l’extrémité...), dont la France, ce résultat est appelé théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) de Thalès ; en anglais il est connu sous le nom de théorème d'intersection, moins commun en français ; en allemand il est appelé Strahlensatz, c'est-à-dire théorème des rayons.

Ce résultat est attribué au mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de...) et philosophe grec Thalès de Milet. Cette attribution s'explique par une légende selon laquelle Thalès aurait calculé la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) d'une pyramide (Une pyramide (du grec pyramis) à n côtés est un polyèdre formé en reliant une base polygonale de n côtés à un point, appelé l'apex, par n faces...) en mesurant la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme...) de son ombre (Une ombre est une zone sombre créée par l'interposition d'un objet opaque (ou seulement partiellement opaque) entre une source de lumière et la surface sur laquelle se...) au sol et la longueur de l'ombre d'un bâton de hauteur donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.). Cependant, certains documents historiques montrent que les similitudes des triangles avaient déjà été remarquées par les Babyloniens. Mais la première démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...) écrite connue de ce théorème est donnée dans les Éléments d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce antique ayant probablement vécu en Afrique,...) (proposition 2 du livre VI). Elle repose sur la proportionnalité (On dit que deux mesures sont proportionnelles quand on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par une constante appelée coefficient de proportionnalité.) d'aires (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) de triangles de hauteur égale (voir ci-dessous le détail de la preuve).

Le théorème de Thalès (Le théorème de Thalès ou théorème d'intersection est un théorème de géométrie qui affirme que, dans un plan, une droite...) se généralise en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...) supérieure. Le résultat est équivalent à des résultats de géométrie projective (En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie qui modélise les notions intuitives de perspective et d'horizon. Elle étudie les propriétés des figures inchangées par...) tels que la conservation du birapport par les projections. À un niveau plus élémentaire, le théorème de Thalès sert à calculer des longueurs en trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος / trígonos, « triangulaire », et...), à condition de disposer de deux droites parallèles (Deux droites sont dites parallèles si elles n'ont aucun point commun ou si elles sont confondues. Deux droites ayant un et un seul point commun sont dites...). Cette propriété est utilisée dans des instruments de calcul de longueurs.

En anglais et en allemand, le théorème de Thalès désigne un autre théorème de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...) qui affirme qu'un triangle inscrit dans un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci...), et dont un côté est un diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la...), est un triangle rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.).

Énoncés et enseignement

En pratique, le théorème de Thalès permet de calculer des rapports de longueur et de mettre en évidence des relations de proportionnalité en présence de parallélisme.

Théorème de Thalès :Soit un triangle ABC, et deux points D et E des droites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC) (comme indiqué sur la figure ci-dessous). Alors on a :
\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{DE}{BC}.
Thales theorem 1.svg Thales theorem 2.svg
Deux configurations possibles du théorème de Thalès.

Le théorème de Thalès démontre que les triangles ABC et ADE sont homothétiques : il existe une homothétie (Une homothétie est une transformation géométrique, c'est-à-dire une règle qui associe à chaque point d’un espace un point de ce même espace. On dit aussi que c'est une application mathématique de l'espace sur lui-même.) de centre A envoyant B sur D et C sur E. L'un des rapports donnés ci-dessus est au signe près le rapport de l'homothétie. Plus précisément, le rapport de l'homothétie est + AD / AB dans la première configuration et AD / AB dans la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure du temps. La seconde d'arc est une mesure...). Le théorème de Thalès est parfois énoncé plus simplement en affirmant qu'une droite parallèle à un des côtés du triangle coupe ce triangle en un triangle semblable.

Il peut être mis en œuvre dans différentes constructions géométriques faisant intervenir compas et règle. Par exemple, il peut justifier une construction permettant de diviser un segment en un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) donné de parts égales.

Pour être plus rigoureux, l'énoncé ci-dessus donné nécessite l'utilisation d'une distance euclidienne pour donner un sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie...) aux longueurs mentionnées (AB, BC, ...). Un énoncé plus général et précis est donné dans le cadre de la géométrie affine (La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler d'alignement,...). Dans ce cadre, la notion de longueur est remplacée par celle de mesure algébrique, et seul le rapport a un sens (voir plus loin).

Théorème réciproque (La réciproque est une relation d'implication.)

Le théorème de Thalès (en dimension 2), dans son sens direct, permet de déduire certaines proportions dès que l'on connaît un certain parallélisme. Sa réciproque permet de déduire un parallélisme dès que l'on connaît l'égalité de certains rapports.

Réciproque du théorème de Thalès : Dans un triangle ABC, supposons donnés des points D et E appartenant respectivement au segment [AB] et [AC]. Si les rapports AD/AB et AE/AC sont égaux, alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Il est à remarquer que la démonstration de cette réciproque se déduit du théorème. En effet, considérons un point (Graphie) E' du segment [AC] tel que (DE') soit parallèle à (BC). Alors les points A, E', C sont alignés dans cet ordre et AE'/AC = AD/AB = AE/AC donc il vient que AE' = AE. Or il n'existe qu'un seul point situé entre A et C vérifiant cette propriété donc E' = E . Par conséquent, (DE)=(DE') est parallèle à (BC).

Il est à noter que ce qui est appelé "le théorème réciproque de Thalès" n'est pas la réciproque, au sens logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche...) du terme, du théorème initial.

Théorème de la droite des milieux

Theoreme des milieux-1.png

Le théorème des milieux (Le théorème des milieux est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès.) est une spécialisation du théorème de Thalès, pour laquelle les points D et E correspondent aux milieux des segments [AB] et [AC]. Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, elle est parallèle à la droite qui supporte le troisième côté ; et la longueur joignant les milieux des deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté:

Théorème de la droite des milieux : Soit un triangle ABC, et nommons D et E les milieux respectifs de [AB] et [AC]. Alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles et on a : 2.DE = BC.

La réciproque du théorème de Thalès justifie que les deux droites sont parallèles ; de plus, le théorème de Thalès s'applique et il vient :

\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{2}.

Enseignement et appellations

Ce théorème est connu sous le nom de théorème de Thalès dans l'enseignement des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques...) en France, en Suisse, etc..

Aucun texte ancien ne semble attribuer la découverte d'un résultat semblable à Thalès. La première référence où une telle attribution est faite se trouve dans les Éléments de géométrie de Rouché et Comberousse en 1883. Une des causes de cette attribution serait l'incitation faite aux agrégatifs à la fin du XIXe siècle d'attribuer aux résultats des noms de mathématiciens pour qu'ils s'intéressent à l'histoire des mathématiques (L’histoire des mathématiques s'étend sur plusieurs millénaires et dans de nombreuses régions du globe allant de la Chine à l’Amérique centrale. Jusqu'au XVIIe...).

C'est aussi sous le nom de théorème de Thalès que le résultat est connu dans les pays de la Méditerranée et dans les pays de l'Europe de l’Est ou du Nord (Le nord est un point cardinal, opposé au sud.). Cependant, dans les pays de langue anglaise et en Allemagne, ce résultat est connu sous le nom de théorème d'intersection.

L'appellation théorème de Thalès désigne dans ces pays la propriété selon laquelle tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) inscrit dans un demi-cercle est droit (lire Théorème de Thalès (cercle)).

En Suisse, le théorème est principalement abordé au moyen de la « petite propriété de Thalès » telle qu'elle est enseignée en France. Le « théorème de Thalès suisse » exprime par contre le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles...) de la hauteur dans un triangle rectangle.

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