Théorème de Thalès - Définition

Démonstrations

Preuve mentionnée par Euclide

Disposition des points

Dans l'approche d'Euclide, les points sont des éléments indivisibles à partir desquels les objets géométriques se définissent. Dans cette perspective, les notions de segments et de droites ne sont pas différenciées. La propriété démontrée par Euclide n'est pas exactement le théorème comme il est cité de nos jours. Une traduction datant de 1632 est la suivante :

Livre VI, Proposition 2 : « Si on mène une ligne droite parallèle à l'un des cotez d'un triangle, laquelle coupe les deux autres cotez ; elle les coupera proportionnellement ; & si les deux côtés d'un triangle sont coupés proportionnellement, la ligne coupante sera parallèle a l'autre cotez. »
Si on mène une ligne droite parallèle à l'un des côtés d'un triangle, laquelle coupe les deux autres côtés, elle les coupera proportionnellement. Et si les deux côtés d'un triangle sont coupés proportionnellement, la ligne coupante sera parallèle à l'autre côté.

Les données de ce théorème sont donc :

• Un triangle, par définition délimité par trois lignes droites (segments) AB, BC, et CA ;
• Une ligne droite DE parallèle à la ligne droite BC intersectant AB en D et AC en E.

Les notations sont celles introduites par Euclide après l'énoncé ; l'illustration ci-contre donne la disposition des points. La conclusion donnée est :

« AD fera à DB ce que AE est à EC. »

Autrement dit, en écriture mathématique actuelle :

.

La démarche d'Euclide se base sur le fait que l'aire d'un triangle est égale à la moitié de la longueur de sa hauteur, par-rapport à une base (ou côté) quelconque, multipliée par la longueur de la base en question. Il constate que les hauteurs des triangles DEB et DEC par rapport à leur base commune DE ont la même longueur. Ces deux triangles ont par conséquent la même aire, et a fortiori, ils ont donc le même ratio (d'aires) avec n'importe quelle aire non nulle, et en particulier celle du triangle DEA. Comme les hauteurs des triangles DEB et DEA par rapport, respectivement, aux bases BD et DA, sont confondues, Euclide en déduit que le ratio de DEB par DEA est le même que le ratio de BD par DA. Par analogie, le ratio de DEC par DEA est le même que le ratio de CE par EA. La proposition 11 du livre V énonce que les ratios qui sont les mêmes qu'un autre ratio sont les mêmes. Euclide en déduit donc que le ratio de BD par DA est le même que le ratio de CE par EA.

Le raisonnement proposé par Euclide se traduit aujourd'hui par les égalités suivantes :

.

Les égalités s'appuient sur les constatations suivantes :

• Les triangles DEB et DEA ont une hauteur commune h issue de E. Donc, leur aire est respectivement ½BD×h et ½DA×h.
• Les triangles DEB et DEC ont une base commune DE, et les sommets opposés B et C sont par hypothèses sur une droite parallèle à (DE).
• Enfin, les triangles DEC et DEA ont une hauteur commune h' issue de D. Donc, leur aire est respectivement ½CE×h' et ½EA×h'.

Sous forme de tableau de proportionnalité :

Preuve purement vectorielle

Il faut se poser la question de la validité d'une démonstration vectorielle du théorème de Thalès. En effet, la géométrie vectorielle s'appuie souvent sur une définition géométrique des vecteurs, définition dans laquelle le théorème de Thalès joue un rôle prépondérant quand il s'agit d'affirmer que .

Mais on peut toutefois s'intéresser à une écriture possible du théorème de Thalès et sa justification grâce aux opérations vectorielles. Ce qui pourrait permettre de généraliser le théorème de Thalès à tout espace affine euclidien associé à un espace vectoriel.

Dire que D est sur (AB) c'est écrire qu'il existe un réel x tel que .

De même, dire que E est sur (AC), c'est écrire qu'il existe un réel y tel que .

Enfin, dire que les droites (ED) et (BC) sont parallèles, c'est écrire qu'il existe un réel t tel que .

Les égalités précédentes et la relation de Chasles permettent d'écrire que :

L'écriture suivant les vecteurs et se doit d'être unique car ces vecteurs ne sont pas colinéaires. Donc et

On obtient donc les trois égalités:

.

L'avantage de cet énoncé et de cette démonstration est que cela n'oblige pas à traiter les différents cas de configuration évoqués plus haut.