Théorème de Pythagore - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

Une version géométrique du théorème.

Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) droit) le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré...) de la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en...) de l’hypoténuse (côté opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même niveau, l'un en face...) à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ce théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer...) est nommé d’après Pythagore (Pythagore (en grec ancien Πυθαγόρας / Pythagóras) est un philosophe, mathématicien et scientifique qui serait né aux environs de 580 av. J.-C....) de Samos, mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de...), philosophe et astronome (Un astronome est un scientifique spécialisé dans l'étude de l'astronomie.) de la Grèce antique.

Énoncé du théorème

La forme la plus connue du théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de la longueur de l’hypoténuse (côté...) est la suivante :

Théorème de Pythagore — Dans un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La...) rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.), le carré de la longueur de l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l’angle droit.

Note: Le terme « longueur », généralement oublié, est très important. En effet, la longueur est un nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres rationnels, qui modélise la notion de longueur et d'autres grandeurs physiques.) sur lequel l’opération d’élévation au carré est parfaitement définie ; l’hypoténuse est un segment de droite, objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction...) géométrique pour lequel l’élévation au carré n’a pas de sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...).

Cependant, il est parfois retiré afin de ne pas compliquer l'apprentissage (L’apprentissage est l'acquisition de savoir-faire, c'est-à-dire le processus d’acquisition de pratiques, de connaissances, compétences, d'attitudes ou de valeurs culturelles, par...) du théorème (La notion de longueur étant sous-entendue)

Rtriangle.svg

Dans un triangle ABC rectangle en C, AB étant l’hypoténuse, où AB = c, AC = b et BC = a (cf. figure ci-dessus), on aura donc : BC2 + AC2 = AB2 ou encore a2 + b2 = c2.

Le théorème de Pythagore permet ainsi de calculer la longueur d’un des côtés d’un triangle rectangle si on connaît les deux autres.

Exemple

Avec les notations ci-dessus, soit le triangle rectangle de côtés a = 3 et b = 4; alors la longueur du troisième côté, c, est donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) par : a2 + b2 = 32 + 42 = 25 = c2. Les longueurs étant des réels positifs, on obtient c = 5. Un triplet de nombres entiers tel que (3, 4, 5), représentant la longueur des côtés d’un triangle rectangle s’appelle un triplet pythagoricien.

Histoire

Que la propriété de Pythagore soit connue depuis l’Antiquité est un fait dont on peut trouver trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la...) dans l’histoire. Il suffit pour cela d’observer la corde à treize nœuds dont se servaient les arpenteurs égyptiens. Cette corde permettait de mesurer des distances mais aussi de construire, sans équerre, un angle droit puisque les 13 nœuds (et les douze intervalles) permettaient de construire un triangle dont les dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) étaient (3 - 4 - 5), triangle qui s’avère être rectangle. Cette corde restera un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se...) de géomètre pendant encore tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) le Moyen Âge. La plus ancienne représentation de triplets pythagoriciens (triangle rectangle dont les côtés sont entiers) se trouve sur des mégalithes (au XXVe siècle av. J.-C., Grande-Bretagne). On retrouve aussi la trace de triplets pythagoriciens sur des tablettes babyloniennes (tablette de Plimpton 322 au XVIIIe siècle av. J.-C. qui prouvent que, plus de 1 000 ans avant Pythagore, les géomètres connaissaient l’existence de triplets pythagoriciens. Mais entre le constat : « on observe que certains triangles rectangles vérifient cette propriété », sa généralisation : « il semble que tous les triangles rectangles vérifient cette propriété » et sa démonstration : « il est vrai que tous les triangles rectangles dans un plan euclidien vérifient cette propriété », il faut souvent attendre plusieurs siècles.

Pythagore

Les preuves historiques de la vie (La vie est le nom donné :) de Pythagore sont déjà si rares qu’il n’est pas étonnant qu’on ne puisse pas lui attribuer avec certitude la paternité de la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions...). La première trace écrite figure dans les Éléments d’Euclide (proposition XLVII) sous la forme suivante :

« Aux triangles rectangles, le carré du côté qui soutient l'angle droit, est égal aux carrés des deux autres côtés. »

Sa réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est la proposition XLVIII :

« Si le carré de l’un des côtés d’un triangle est égal aux carrés des deux autres côtés, l’angle soutenu par ces côtés est droit. »

Cependant, les commentaires de Proclos des Éléments d’Euclide (Autour de 400) semblent indiquer qu’Euclide n’aurait fait que retranscrire une démonstration plus ancienne que Proclos attribue à Pythagore. C’est donc entre le VIe siècle av. J.-C. et le IIIe siècle av. J.-C. que l’on peut dater la démonstration de cette propriété. On raconte que c’est à cette occasion qu’aurait été découverte l’existence de nombres irrationnels. En effet, il est facile de construire un triangle rectangle isocèle de côté 1. Alors le carré de l’hypoténuse vaudrait 2. Or une démonstration simple accessible du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) de Pythagore prouve qu’aucun rationnel n’a un carré égal à 2. On raconte que cette découverte fut tenue secrète par l’école pythagoricienne sous peine de mort (La mort est l'état définitif d'un organisme biologique qui cesse de vivre (même si on a pu parler de la mort dans un sens cosmique plus général, incluant par exemple la mort des étoiles). Chez les...).

Parallèlement à ces découvertes, il semble qu’en Chine aussi la propriété soit connue. On retrouve trace de l’existence de ce théorème dans un des plus anciens ouvrages mathématiques chinois le Zhoubi suanjing. Cet ouvrage, écrit probablement durant la dynastie Han (-206 à 220), regroupe des techniques de calcul datant de la dynastie Zhou (Xe siècle av. J.-C. à -256). Une démonstration du théorème, qui porte en Chine le nom de théorème de Gougu (base et altitude), figure dans le Jiuzhang suanshu (Les neuf chapitres sur l'art mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...), -100 à 50), démonstration qui ne ressemble en rien à celle d’Euclide et qui prouve l’originalité de la démarche chinoise.

En Inde, vers -300, on trouve la trace d’une démonstration numérique de la propriété (preuve effectuée sur des nombres particuliers mais qui peut se généraliser aisément). D’une propriété géométrique, le théorème de Pythagore prend aussi un développement arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie...) avec la recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances...) de tous les triplets d’entiers associés aux trois côtés d’un triangle rectangle : ce sont les triplets pythagoriciens. Cette recherche ouvrira la porte à une autre : la recherche de triplets vérifiant l’égalité an + bn = cn, recherche qui conduit à la conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) de Fermat résolue en 1994 par Andrew Wiles. Il existe en réalité de nombreuses démonstrations de ce théorème, de celle d’Euclide à celle des Chinois, en passant par celle de l’Inde, celle utilisant des similitudes, celle de Léonard de Vinci et même celle du président américain James Garfield. On ne peut pas passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) sous silence Al Kashi qui donne pour un triangle quelconque une relation dont la formule de Pythagore devient alors le cas particulier du triangle rectangle : le Théorème d'Al-Kashi.

Page générée en 0.068 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique