Théorème de Jordan - Définition et Explications

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Introduction

La courbe de Jordan (en noir) divise le plan en deux régions : un « intérieur » (en bleu) et un « extérieur » (en rose). Ce résultat porte le nom de théorème de Jordan.

En mathématiques, le théorème de Jordan est un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème...) de topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle d'un couteau, munie de deux poignées, à chaque extrémité de la lame. Elle permet le dégrossissage et le creusage de formes courbes, galbées et...). Il est célèbre par le caractère apparemment intuitif de son énoncé et la difficulté de sa démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...). « En fait, il n'y a pratiquement aucun autre théorème qui apparaisse aussi évident en apparence que n'importe quel axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en...) de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces (géométrie...) élémentaire et dont la preuve est tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) sauf évidente » précise M. Dostal à son sujet.

Si, à l'aide d'un crayon, on dessine une ligne continue (on ne lève pas le crayon) qui ne se croise pas et qui termine là où elle commence, la zone de la feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges des plantes au niveau des nœuds. À l'aisselle de la feuille se trouve...) non dessinée se décompose en deux parties, l'intérieur de la figure, qui est borné, et l'extérieur, qui ne le serait pas si la feuille ne l'était pas. Pour s'en rendre compte, il suffit de découper la feuille à l'emplacement de la ligne, on obtient bien deux morceaux.

Ce théorème est l'un des piliers de la topologie du plan, qui correspond à l'étude des transformations, sans arrachage ni recollement (le plan est considéré comme formé d'une baudruche (La baudruche est une pellicule extraite des l'intestin de divers animaux, et, par analogie, une fine pellicule de caoutchouc. Elle est utilisée pour la fabrication de ballons.) infiniment souple mais indéchirable). Une manière ludique d'en comprendre son intérêt est l'énigme des trois maisons. On considère dans le plan trois maisons représentées par des points et trois fournisseurs d'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.), de gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas de forme propre ni de volume propre :...) et d'électricité (L’électricité est un phénomène physique dû aux différentes charges électriques de la matière, se manifestant par une énergie. L'électricité désigne également la...). L'objectif est de relier chaque maison (Une maison est un bâtiment de taille moyenne destiné à l'habitation d'une famille, voire de plusieurs, sans être considérée comme un immeuble collectif.) aux trois fournisseurs par des lignes, sans que deux de ces lignes ne se croisent. Le théorème de Jordan permet de montrer que c'est impossible. Il est utilisé pour mieux comprendre les équations différentielles. On le trouve encore en analyse complexe, à travers la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur l’observation...) des résidus, et en géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés différentielles,...).

Bernard Bolzano est le premier mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de compétences...) à considérer le résultat de l'article comme une question mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures...). Il formalise les définitions à l'origine de la démonstration. Camille Jordan rédige la première démonstration, qui reste d'actualité de par la simplicité des outils mathématiques utilisés. Dans son Cours d'analyse, Jordan présente la partie facile de la preuve sous forme d'un exercice dont la solution n'est pas rédigée. Ceci amène souvent à considérer la démonstration de Veblen, plus tardive, comme la première preuve complète.

Préambule

Énoncé

Un archipel (Un archipel est un ensemble d'îles relativement proches les unes des autres. La proximité se double le plus souvent d'une origine...) est constitué de plusieurs composantes connexes (les îles) : il n'est pas possible de passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) à pied sec d'une île (Une île est une étendue de terre entourée d'eau, que cette eau soit celle d'un cours d'eau, d'un lac ou d'une mer. Son étymologie latine, insula, a donné l'adjectif...) à l'autre. La frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier suivant les régions...) (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) mathématique) d'une île est son littoral : un lacet simple.

Une courbe de Jordan dans un plan affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) réel est une courbe fermée simple, on parle aussi de lacet simple. Autrement dit, une courbe de Jordan est l'image d'une application φ, continue et injective d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du...) vers un plan ou encore une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans...) du cercle dans son image. Comme le cercle est compact, l'image par φ d'un fermé est un fermé, ce qui montre que sa réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est continue, on parle d'homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque est continue. Dans...) sur son image. Par abus, et comme souvent, dans cet article les termes de courbe fermée simple et de lacet simple, désignent à la fois l'application φ et son image. Certains auteurs plus précis considèrent que le terme de courbe fermée simple désigne uniquement l'image de l'application φ et que le terme de courbe fermée est synonyme d'arc paramétré défini sur un segment.

Intuitivement, un connexe est un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la...) d'un seul tenant. Les connexes du théorème ont une propriété particulière : on peut aller d'un point (Graphie) à un autre d'un même connexe en empruntant un chemin qui ne quitte pas le connexe, on parle alors de connexe par arcs. Une composante connexe est un connexe maximal pour l'inclusion. Autrement dit, si l'on ajoute une partie quelconque du complémentaire à une composante, l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) n'est plus connexe. Le terme de frontière correspond à l'idée intuitive que l'on s'en fait. Tout disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) de rayon non nul et de centre un point de la frontière, contient des points d'au moins deux composantes connexes.

Le théorème dit de Jordan s'énonce ainsi :

Théorème de Jordan — Le complémentaire d'une courbe de Jordan S dans un plan affine réel est formé d'exactement deux composantes connexes distinctes, dont l'une est bornée et l'autre non. Toutes deux ont pour frontière la courbe de Jordan S.

Difficulté du théorème

Il n'est pas toujours intuitivement évident de savoir si un point se situe dans la zone intérieure.
La frontière d'un flocon de Koch est définie par une courbe continue et nulle part dérivable.

L'approche intuitive est trompeuse, on imagine généralement des lacets simples un peu rudimentaires, relativement proche d'un cercle, à l'image de la figure introductive de l'article. Cependant, une courbe de Jordan peut être beaucoup plus complexe. La figure de gauche illustre un exemple disposant de nombreux enroulements. Savoir si le point rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.) est ou non dans à l'intérieur du lacet n'est pas aussi facile qu'on aurait pu le penser de prime abord.

Un lacet simple peut être vu comme un élastique circulaire déformé à volonté, de telle manière à ce que deux points distincts ne se touchent jamais. L'élastique est supposé être infiniment élastique. Autrement dit, il peut acquérir une longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) infinie. Cela revient à dire que le dessinateur (Un dessinateur est une personne pratiquant le dessin. Le dessin résultant du travail d'un dessinateur peut être : artistique, statique, ou une base de travail pour d'autres professionnels.) de l'introduction est supposé être capable de tracer une ligne infiniment rapidement avec une précision infinie. Sur une idée de Karl Weierstrass, le mathématicien Helge von Koch trouve un lacet simple nulle part dérivable. Le motif qui le constitue est répété à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.), un peu comme un flocon de neige (La neige est une forme de précipitation, constituée de glace cristallisée et agglomérée en flocons pouvant être ramifiés d'une infinité de façons. Puisque...) dont les branches supporteraient d'autres branches plus petites qui en contiendraient encore d'autres... Cette construction correspond à une géométrie fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques. Le terme « fractale » est un...) et la dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) de la frontière est strictement plus grande que 1. Savoir s'il existe un chemin reliant deux points profondément imbriqués dans les petites radicelles de la figure n'est plus aussi intuitif que pourrait le laisser penser une lecture rapide de l'énoncé .

D. Leborgne indique que : « Ce qui est remarquable [...] est, d'une part l'extrême simplicité (apparente) des énoncés, et, d'autre part, la difficulté importante de leur démonstration. ». La grande généralité du théorème, c'est-à-dire le fait qu'il soit vrai sans supposer d'hypothèse de régularité comme la dérivabilité ou au moins le caractère lipschitzien de la courbe de Jordan, complexifie en réalité plus l'énoncé qu'elle ne le simplifie.

Usages

L'énigme des trois maisons
Un bouchon posé sur un étang (Un étang (estang, latin stagnum) est une étendue d'eau stagnante, peu profonde, de surface relativement petite (jusqu'à quelques dizaines d'hectares), résultant de l'imperméabilité du sol. L'étang est un plan d'eau continental dont...) parcouru par un courant indépendant du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) finit soit par s'immobiliser, soit par parcourir indéfiniment une boucle. Ce théorème est une conséquence du résultat de l'article.

Le théorème de Jordan intervient dans des branches fort différentes des mathématiques. Son domaine naturel est la topologie. Une manière d'illustrer son usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) est l'énigme des trois maisons, illustrée sur la figure de gauche et posée pour la première fois par H. E. Dudeney en 1917. Comment relier chacun des trois points rouges du bas à chacun des trois points rouges du haut de telle manière à ce que les liens ne se chevauchent pas ? Le théorème de Jordan permet de montrer qu'il n'existe pas de solution. De manière moins anecdotique, le résultat de l'article est la cheville ouvrière de la démonstration du théorème de Kuratowski, le résultat clé des graphes planaires.

Un usage plus classique est associé à une meilleure compréhension d'une famille d'équations différentielles. Elle correspond à celles de la forme x' f(x) où f est une fonction suffisamment régulière de la variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une...) réelle dans le plan. On peut l'imaginer comme l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à...) d'un bouchon sur un étang parcouru d'un courant modélisé par la fonction f. Si une solution est bornée, elle ne peut quitter un disque de rayon suffisamment grand. Le théorème de Cauchy-Lipschitz (Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l'existence locale et l'unicité de la solution d'une équation différentielle. Énoncé par Augustin Louis Cauchy en...) indique que la solution ne peut passer deux fois par le même point, cette contrainte lui impose soit de converger vers un point, soit vers un cycle limite. Autrement dit, le bouchon finit par s'immobiliser ou tourner indéfiniment autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent...) d'un lacet de Jordan. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Poincaré-Bendixson.

L'analyse complexe étudie les fonctions de la variable complexe à valeurs dans les complexes. Si la fonction, notée ici f, est dérivable (au sens complexe) elle est développable en série entière en chaque point de son domaine de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...) et le rayon de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) de cette série, en un point du domaine, n'est jamais nul. Une telle fonction est dite méromorphe. Elle peut comporter des singularités, un peu de même nature que les zéros du dénominateur des fractions rationnelles. Soit γ un lacet simple du plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.), ne passant par aucun zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans...) de f ni aucune singularité (D'une manière générale, le mot singularité décrit le caractère singulier de quelque chose ou de quelqu'un. En particulier, le terme est employé dans les domaines suivants :). Le lacet γof fait autant de fois le tour des racines que l'intérieur du lacet contient de zéros. La valeur de l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on appelle intégrateur...) curviligne du lacet γof est intimement associée aux singularités qui se trouvent à l'intérieur du lacet γ, ce résultat est connu sous le nom de théorème des résidus. Pour ces différentes raisons, il n'est guère possible d'écrire un livre sur l'analyse complexe sans présenter le théorème de Jordan.

La géométrie différentielle n'est pas en reste. Il permet d'orienter tout lacet simple et montre que la courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) totale d'un lacet simple dérivable est égale à 2π. Ces différentes raisons font écrire à D. Leborgne que le résultat de l'article est l'un des : « grands théorèmes concernant la topologie des espaces de dimension finie. ».

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