Théorème de Cayley-Hamilton - Définition

Exemple

Considérons par exemple la matrice

.

Le polynôme caractéristique s'écrit

Le théorème de Cayley-Hamilton affirme que

A² − 5A − 2I₂ = 0

et cette relation peut être rapidement vérifiée dans ce cas. De plus le théorème de Cayley-Hamilton permet de calculer les puissances d'une matrice plus simplement que par un calcul direct. Reprenons la relation précédente

A² − 5A − 2I₂ = 0

A² = 5A + 2I₂

Ainsi, par exemple, pour calculer A⁴, nous pouvons écrire

A³ = (5A + 2I₂)A = 5A² + 2A = 5(5A + 2I₂) + 2A = 27A + 10I₂

et il vient

A⁴ = A³A = (27A + 10I₂)A = 27A² + 10A = 27(5A + 2I₂) + 10A

A⁴ = 145A + 54I₂.

On peut également utiliser la relation polynomiale initiale A² − 5A − 2I₂ = 0 pour prouver l'inversibilité de A et calculer son inverse. Il suffit en effet de mettre en facteur une puissance de A là où c'est possible et

A(A − 5I) = 2I₂

ce qui montre que A admet pour inverse

Abstraction et généralisations

La preuve donnée ci-dessus n'utilise que les propriétés d'anneau commutatif du corps K, puisqu'elle ne comporte pas de division par des éléments de cet anneau mais s'appuie juste sur la formule de Laplace, valide pour une matrice à coefficients dans n'importe quel anneau commutatif B. On peut donc généraliser le théorème de Cayley-Hamilton à ce cas, en utilisant la formule de Laplace pour des matrices à coefficients dans l'anneau B = R [X], R étant un anneau commutatif quelconque :

Pour toute matrice carrée A de taille nxn à coefficients dans un anneau commutatif R, si l'on note

,

on a :

.

Soit alors M un module de type fini sur cet anneau R (l'analogue de la notion d'espace vectoriel de dimension finie sur un corps, mais sans l'existence de bases : M a seulement des familles génératrices finies), et soit φ un endomorphisme de M, le théorème de Cayley-Hamilton permet de construire comme suit des polynômes en φ qui s'annulent sur M : soit (e₁, e₂, ... , e_n) une famille génératrice de M. On peut trouver des éléments a_ij de R tels que

et on note A la matrice nxn formée de ces coefficients. Cette matrice n'est pas unique, même pour une famille génératrice fixée, puisqu'on n'a pas supposé libre cette famille. Néanmoins, de la formule p_A(A) = 0 on déduit que .

Parmi les multiples démonstrations du théorème de Cayley-Hamilton dans le contexte des anneaux commutatifs, soulignons l'élégance de la démonstration générique, dont le principe est abstrait mais courant en algèbre : elle repose sur la remarque que l'équation p_A(A) = 0 est une équation polynômiale universelle en les coefficients de la matrice A (carrée de taille n fixée). C'est-à-dire que p_A(A) = U(a_i,j) pour toute matrice A de coefficients a_i,j dans n'importe quel anneau commutatif, où U(Y_i,j) désigne une certaine matrice carrée de taille n à coefficients dans l'anneau de polynômes à n² indéterminées (cette matrice universelle U est indépendante de A et résulte juste des formules de développement du déterminant et des puissances de matrices). Pour démontrer le théorème pour n'importe quelle matrice A dans n'importe quel anneau commutatif, il suffit donc de vérifier que cette matrice U(Y_i,j) est nulle, c'est-à-dire de démontrer le théorème pour une seule matrice : la matrice Y dont les coefficients sont les Y_i,j, éléments de l'anneau R.

• Soit (ainsi, ), et soit K un corps algébriquement clos contenant R (par exemple le plus petit : la clôture algébrique de son corps des fractions).
• Le polynôme V(X) est à racines simples dans K car son discriminant est non nul. En effet, puisque le résultant de deux polynômes de degrés donnés s'écrit comme un polynôme universel en leurs coefficients, le discriminant de V(X) s'écrit lui aussi comme un polynôme universel tel que pour toute matrice A, le discriminant de det(XI_n − A) soit égal à W(a_i,j). Or il existe des matrices A pour lesquelles  : par exemple la matrice diagonale à coefficients entiers, de diagonale 1, 2, ... , n.
• La matrice Y est donc diagonalisable sur K : Y = PDP ^{− 1} avec P inversible et D diagonale, donc pour D le théorème de Cayley-Hamilton est immédiat, ce qui permet de conclure :