Théorème de Carathéodory (géométrie) - Définition

Introduction

Le théorème de Carathéodory est un théorème de géométrie relatif aux enveloppes convexes dans le contexte des espaces affines de dimension finie.

Énoncé

Le théorème, établi par le mathématicien grec Constantin Carathéodory affirme que :

Corollaire : un résultat de compacité

En effet, soit l'ensemble des -uples de nombres positifs de somme . Alors Conv(A) est l'image du compact par l'application continue

Preuves

La preuve usuelle

Notons Conv(A) l'enveloppe convexe de A, et Γ l'ensemble des barycentres à coefficients positifs ou nuls d'au plus n + 1 points de A. On veut montrer l'égalité de ces deux ensembles.

L'inclusion est évidente. La démarche de la preuve est de montrer que pour tout , si un élément x de l'enveloppe convexe s'écrit comme combinaison convexe de p + 1 points (i.e. comme barycentre à coefficients positifs ou nuls de ces points), alors c'est une combinaison convexe de p points bien choisis parmi ces p + 1 ; on réitère alors le procédé jusqu'à obtenir .

Soit . Ainsi x s'écrit , où est un entier, les λ_i sont des réels positifs ou nuls de somme 1, et les a_i sont des points de A.

Si , alors . Si , alors est affinement lié, c'est-à-dire que l'un des points, disons par exemple , est barycentre des autres : il existe des réels de somme 1 tels que .

En posant et pour , , on obtient : , et .

Choisissons k tel que : et remplaçons, dans l'expression de x, le point a_k par .

Par "associativité du barycentre" on obtient , où les , définis par , sont des réels de somme 1, dont il reste à montrer qu'ils sont tous positifs ou nuls.

Si , alors et donc . Si , alors est positif en tant que somme de deux termes positifs.

x est donc barycentre à coefficients positifs ou nuls de p éléments de A.

Une preuve comme conséquence du théorème de Helly

Les possibilités de déduire l'un de l'autre les théorèmes de Helly et de Caratheodory, le premier parlant d'intersections finies de convexes, qu'on peut ramener au seul problème d'intersections finies de demi-espaces, tandis que le second parle d'enveloppe convexe d'un nombre fini de points sont fort instructives pour illustrer les techniques de dualité en géométrie convexe, qui échangent points et demi-espaces. Deux preuves du théorème de Helly dans l'article qui lui est consacré en font une conséquence de Carathéodory, dont une fort instructive via le lemme de Farkas ; aller dans l'autre sens (tirer Carathéodory de Helly) est plutôt plus facile encore, et on peut se borner à utiliser un théorème de Gordan d'esprit voisin du lemme de Farkas, mais de démonstration nettement plus aisée.

Soit x un point de l'enveloppe convexe de A. Quitte à translater la figure, on peut supposer que x = 0. Il existe donc une famille finie de points de A, soit dont 0 est un barycentre à coefficients positifs ou nuls. Si il n'y a rien à faire, supposons donc . On munit E d'une structure euclidienne, et pour chacun des a_j on considère la forme linéaire f_j définie sur E par f_j(y) = < a_j | y > et le demi-espace .

Le théorème de Gordan (en réalité le sens évident de celui-ci) assure que les demi-espaces R_j (j variant entre 1 et k) ont une intersection vide. Le théorème de Helly assure à son tour qu'il en existe une sous-famille avec seulement d + 1 membres qui a à son tour une intersection vide. Le sens plus significatif du théorème de Gordan permet alors de conclure que les d + 1 points a_j correspondant à cette liste ont à leur tour 0 dans leur enveloppe convexe.