Mercredi 23 Avril 2025
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Tétration - Définition

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- Introduction - Notation - Extension aux valeurs faibles du second opérand - Exemples - Extension aux nombres réels - Tétration complexe - Tours de puissance infiniment hautes

Introduction

La tétration (ou encore nappe exponentielle, hyperpuissance, tour de puissance, super-exponentiation ou hyper4) est une « exponentiation itérative », le premier hyper opérateur après l'exponentiation.

Le mot-valise tétration a été forgé par Reuben Goodstein sur la base du préfixe tétra- (quatre) et itération. La tétration est utilisée pour l'écriture des grands nombres. Elle suit l'addition, la multiplication et l'exponentiation comme indiqué ci-après :

  1. addition
    {{a + b} \atop \,} {= \atop \,} {a \, + \atop \, } {{\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}} \atop b \text{ termes}}
  2. multiplication
    {{a \times b = \ } \atop {\ }} {{\underbrace{a + a + \cdots + a}} \atop b\text{ termes}}
  3. exponentiation
    {{a^b = \ } \atop {\ }} {{\underbrace{a \times a \times \cdots \times a}} \atop b\text{ facteurs}}
  4. tétration
    {\ ^{b}a = \ \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop b\text{ exposants}}

chaque opération étant définie par itération à partir de la précédente.

L'addition (a+b) peut être définie comme b itérations de l'opération ajouter 1 appliquée à a, la multiplication (a.b) comme b itérations de l'opération ajouter a appliquée à a, et l'exponentiation (ab) comme b itérations de l'opération multiplier par a appliquée à a. De manière analogue, la tétration (ba) peut être considérée comme b itérations de l'opération porter à la puissance a appliquée à a.

On remarquera que lorsque l'on évalue une exponentiation à niveaux multiples, l'exponentiation est effectuée à un niveau le plus « profond » en premier lieu (en notation, au niveau le plus élevé). En d'autres termes :

\,\!\ ^{4}2 = 2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{16} = 65536
\,\!2^{2^{2^2}} n'est pas égal à \,\! \left({\left(2^2\right)}^2\right)^2 = 2^{2\times2\times2} = 256 .

Ceci est la règle générale pour l'ordre des opérations impliquant une exponentiation répétée.

Notation

Afin de généraliser le premier cas au-dessus (tétration), une nouvelle notation est nécessaire (voir ci-dessous); cependant, le second cas peut-être également écrit :

\,\! \left(\left(2^2\right)^2\right)^2 = 2^{2 \cdot 2 \cdot 2} = 2^{2^3}

Donc, sa forme générale utilise toujours une notation d'exponentiation ordinaire.

Les notations dans lesquelles une tétration peut être notée (parmi celles permettant même des niveaux d'itérations plus élevés) incluent :

  • la notation standard : ba, utilisée en premier lieu par Hans Maurer; cette notation a été popularisée le livre de Rudy Rucker, Infinity and the Mind.
  • la notation des puissances itérées de Knuth : a \uparrow\uparrow b — peut être étendue en utilisant plus de flèches (ou de manière équivalente, une flèche indexée).
  • la notation des flèches chaînées de Conway : a \rightarrow b \rightarrow 2 — peut être étendue en augmentant le nombre 2 (équivalentes avec les extensions au-dessus), mais aussi, de manière plus performante, en étendant la chaîne.
  • la notation hyper4 : a^{(4)}b = \operatorname{hyper4}(a, b) = \operatorname{hyper}(a, 4, b) — peut-être étendue en augmentant le nombre 4; cela donne la famille des hyper opérateurs.

Pour la fonction d'Ackermann, nous avons : 2 \uparrow\uparrow b = \operatorname{A}(4, b - 3) + 3 , i.e. \operatorname{A}(4, n) = 2 \uparrow\uparrow (n+3) - 3 .

La flèche vers le haut est utilisée de manière identique au signe d'omission, ce qui fait que l'opérateur tétration peut être écrit comme ^^ en ASCII : a^^b.

Extension aux valeurs faibles du second opérand

En utilisant la relation n \uparrow\uparrow k = \log_n \left(n \uparrow\uparrow (k+1)\right) (déduite de la définition de la tétration), on peut dériver (ou définir) les valeurs pour n \uparrow\uparrow k pour k \in \{-1, 0, 1\} .

\begin{matrix} n \uparrow\uparrow 1 & = & \log_n \left(n \uparrow\uparrow 2\right) & = & \log_{n} \left(n^n\right) & = & n \log_{n} n & = & n \\ n \uparrow\uparrow 0 & = & \log_{n} \left(n \uparrow\uparrow 1\right) & = & \log_{n} n & & & = & 1 \\ n \uparrow\uparrow -1 & = & \log_{n} \left(n \uparrow\uparrow 0\right) & = & \log_{n} 1 & & & = & 0 \end{matrix}

Cela confirme la définition intuitive de n \uparrow\uparrow 1 comme étant simplement n. Cependant, on ne peut plus définir plus de valeurs par itération supplémentaire de cette manière, puisque logn0 est indéfini.

De la même manière, puisque log11 est aussi indéfini ( \log_{1} 1 = \begin{matrix}\frac{\log_n 1}{\log_n 1} = \frac{0}{0}\end{matrix} ), la dérivation au-dessus ne peut être produite lorsque n = 1. Ainsi, 1 \uparrow\uparrow {-1} doit rester une quantité non définie, bien que 1 \uparrow\uparrow {0} puisse être défini sans problème comme étant égal à 1.

Parfois, 00 est considéré comme quantité indéfinie. Dans ce cas, les valeurs pour 0\uparrow\uparrow{k} ne peuvent être définie directement. Cependant, \lim_{n\rightarrow0} n\uparrow\uparrow{k} est bien défini, et existe :

\lim_{n\rightarrow0} n\uparrow\uparrow k = \begin{cases} 1, & k \mbox{ pair} \\ 0, & k \mbox{ impair} \end{cases}

Cette limite est également valable pour n négatif. 0 \uparrow\uparrow {k} pourrait être définie en termes de cette limite et devrait être en accord avec la définition de 00 = 1 (si 0 est considéré comme pair).

Exemples
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