Tenseur - Définition et Explications

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Introduction

Articles scientifiques
sur les tenseurs
Généralités

Tenseur

Mathématiques

Tenseur (mathématiques)
Produit tensoriel
... de deux modules
... de deux applications linéaires
Algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) tensorielle
Champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) tensoriel
Espace tensoriel

Physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans...)

Convention d'Einstein
Tenseur (Tenseur) métrique
Tenseur énergie-impulsion
Tenseur de Riemann
... de Ricci
... d'Einstein
... de Weyl
... de Levi-Civita
... de Killing
... de Killing-Yano
... de Bel-Robinson
... de Cotton-York
Tenseur électromagnétique
Tenseur des contraintes
Tenseur des déformations

Articles connexes

Modules
Algèbre extérieure

Portail des Mathématiques
Portail de la Physique

En mathématiques, plus précisément en algèbre multilinéaire (En mathématiques, l’algèbre multilinéaire étend les méthodes de l’algèbre linéaire. Tout comme l’algèbre linéaire est bâtie sur le concept d’un vecteur et développe la théorie des...) et en géométrie différentielle (En mathématiques, la géométrie différentielle est l'application des outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie. Les objets d'étude de base sont les variétés...), un tenseur désigne une fonction multilinéaire. En physique et en sciences de l'ingénieur (« Le métier de base de l'ingénieur consiste à résoudre des problèmes de nature technologique, concrets et souvent complexes, liés à la conception, à la réalisation et à la mise en œuvre de produits,...), les tenseurs sont utilisés pour décrire et manipuler diverses grandeurs et propriétés physiques comme le champ électrique (Dans le cadre de l'électromagnétisme, le champ électrique est un objet physique qui permet de définir et éventuellement de mesurer en tout point de l'espace l'influence exercée à distance par des particules chargées électriquement.), la permittivité (En électromagnétisme, la permittivité ε d'un matériau est le rapport D/E du déplacement électrique (aussi appelé induction électrique ou excitation électrique) D (en coulombs par mètre carré) et de l'intensité du champ...), la déformation etc.

Par extension, on utilise souvent le terme tenseur pour désigner un champ de tenseurs, c'est-à-dire une application qui associe à chaque point (Graphie) d'un espace géométrique un tenseur différent.

La première utilisation de la notion et du terme de tenseur s'est faite dans le cadre de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou transmet un mouvement,...) du continu, en relation avec la nécessité de décrire les contraintes et les déformations subies par les corps étendus, à partir de laquelle fut formalisée la mécanique rationnelle.

Les tenseurs sont largement utilisés dans la relativité générale (La relativité générale, fondée sur le principe de covariance générale qui étend le principe de relativité aux référentiels non-inertiels, est une théorie...), pour décrire rigoureusement l'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise notamment par Minkowski en 1908 dans un exposé mathématique sur la géométrie de l'espace et du temps telle qu'elle avait...) comme variété courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) quadri-dimensionnelle. Les tenseurs sont utilisés dans de nombreux autres domaines de la physique, y compris l'électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude des phénomènes électriques et magnétiques dans leur synthèse du champ électromagnétique : le champ électromagnétique est produit par...), la mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides c'est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent...) et mécanique du solide. En particulier, le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations sont utilisés dans la science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que l'on tient pour vrai au sens...) des constructions pour définir l'état de tension (La tension est une force d'extension.) et de déformation en tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point d'une structure.

Les tenseurs sont également utilisés en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types...) différentielle pour définir sur une variété différentielle les notions géométriques de distance, d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) et de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.). Cela se fait par le choix d'un tenseur métrique, c'est-à-dire un produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs elle...) défini sur l'espace tangent de chaque point. Grâce à ce concept, sont alors définies et étudiées les questions liées à la courbure (Intuitivement, courbe s'oppose à droit : la courbure d'un objet géométrique est une mesure quantitative du caractère « plus ou moins courbé » de cet objet. Par exemple :) de la variété. D'autres tenseurs, tels que le tenseur de Riemann et le tenseur de Ricci (Dans le cadre de la théorie de la Relativité générale, le champ de gravitation est interprété comme une déformation de l'espace-temps. Cette...), sont des outils importants pour cette étude.

Introduction

Les composants du tenseur des contraintes, un tenseur de deuxième ordre, en trois dimensions. Le tenseur dans l'image est le vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de vecteur,...) ligne \sigma = \begin{bmatrix}\mathbf{T}^{(\mathbf{e}_1)} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_2)} \mathbf{T}^{(\mathbf{e}_3)}\end{bmatrix} des forces agissants sur les faces X, Y et Z du cube (En géométrie euclidienne, un cube est un prisme dont toutes les faces sont carrées. Les cubes figurent parmi les solides les plus remarquables de l'espace....). Ces forces sont représentées par des vecteurs colonnes. Les vecteurs ligne et colonnes qui composent le tenseur peuvent être représentées par une matrice :
\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix}

D'un point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) physique, un tenseur est un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) très général, défini intrinsèquement à partir d'un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.) V (qui peut être par exemple l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses...) tridimensionnel, ou bien l'espace-temps quadri-dimensionnel) et qui ne dépend pas d'un système de coordonnées particulier.

Par rapport à un système de coordonnées fixé, un vecteur de l'espace s'exprime comme une suite finie de nombres (ce sont les composantes du vecteur), soit : un n-uplet (En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection de n objets tel qu'il soit possible de dire exactement celui qui est le premier élément, le second élément, ..., le nème. Les...). Si on change de système de coordonnées, ce vecteur s'exprimera alors par un autre n-uplet, différent selon une loi bien précise. Un tenseur, exprimé dans un système de coordonnées particulier, est une sorte de n-uplet généralisé qui peut avoir 1 dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) (un n-uplet), ou 2 (une matrice) ou plus. Par un changement du système de coordonnées, les composantes d'un tenseur, comme celles d'un vecteur, sont modifiées par une loi précise.

Cette notion physique de tenseur comme « objet indépendant du système de coordonnées » est utile pour exprimer beaucoup de lois physiques, qui par leur nature ne dépendent pas des systèmes de coordonnées choisis. La notion mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...) d'un tenseur est réalisée d'une manière plus rigoureuse par l'algèbre multilinéaire. Dans le langage de l'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs...), un système de coordonnées est une base et la loi de transformation est fournie par une matrice de changement de base. En outre, la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) d'un tenseur peut être donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) sans faire référence aux systèmes de coordonnées (aux bases), en utilisant la notion d'application multilinéaire (En algèbre linéaire, une application multilinéaire est une fonction mathématique à plusieurs variables vectorielles qui est linéaire en chaque variable.) et d'espace vectoriel dual.

Page générée en 0.396 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique