Tenseur - Définition et Explications

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Propriétés

Ordre

L'ordre d'un tenseur est le nombre d'indices matriciels nécessaires pour décrire une telle quantité. Par exemple en mécanique classique masse, température, et autres quantités scalaires sont des tenseurs d'ordre 0, mais force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les...), déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En architecture...) et autres quantités vectorielles sont des tenseurs d'ordre 1. La théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) des tenseurs offre des aspects neufs à partir de l'ordre 2 et supérieurs.

Ordre est aussi le nom du couple (h,k)h désigne le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) d'indices contravariants et k le nombre d'indices covariants.

Valence

Dans les applications physiques, on distingue les indices matriciels, selon qu'ils sont contravariants (en les mettant en exposant) ou covariants (en les mettant en indice), en fonction du comportement de la grandeur tensorielle considéré face à des transformations linéaires de l'espace. La valence d'un tenseur (Tenseur) est le nombre des indices matriciels associé au type de chacun d'eux ; des tenseurs de même ordre mais de valences différentes ne se comportent pas de la même façon lors de changement du système de coordonnées. Par ailleurs, un indice covariant peut être changé en indice contravariant par produit tensoriel contracté avec le tenseur métrique. On appelle cette opération élever ou abaisser des indices.

On note la valence en disant que le tenseur est de type (n,m) où n est le nombre d'indices contravariants et m le nombre d'indices covariants. La valence ne note pas l'ordre des indices. La valence est aussi utilisée quand on note le tenseur par une lettre, un indice en haut signifie alors que le tenseur est contravariant pour cet indice, un indice en bas signifie que le tenseur est covariant pour cet indice. On notera donc les vecteurs avec un indice haut, et les formes linéaires avec un indice bas.

Exemples :

Les vecteurs sont des tenseurs d'ordre 1 contravariants. ils sont donc tenseurs de valence (1,0)

Les formes linéaires sont des tenseurs d'ordre 1 covariants. ils sont de valence (0,1)

L'intérêt d'une telle notation, c'est qu'en cas de changement de base, elle donne directement le nombre de multiplications par la matrice de changement de base à effectuer : n, et par son inverse : m.

Pour le changement de base d'un tenseur (1,1), on aura une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) par la matrice de changement de base, et une multiplication par son inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y...), exactement comme pour les matrices en algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes d'équations...).

Opérations sur les tenseurs

Somme et multiplication par un scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la...)

La somme de tenseurs de même ordre et mêmes valences est un tenseur de même ordre et de même valence que les deux tenseurs de départ. Dans ce cas, (\underline{\underline{a}}+\underline{\underline{b}})_{ij} = \underline{\underline{a}}_{ij}+\underline{\underline{b}}_{ij}.

Le produit d'un tenseur et d'un scalaire est un tenseur de même ordre et de même valence que le tenseur de départ.

L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des tenseurs d'ordre et de valence donnés forment donc un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.).

Produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle...)

Le produit scalaire de deux tenseurs de même ordre et de valences différentes pour chacun des indices (tous les indices qui sont contravariants pour l'un doivent être covariants pour l'autre) : le résultat est un scalaire.

Produit tensoriel

Le Produit tensoriel entre A d'ordre n, et B d'ordre p produit un tenseur d'ordre (n+p). Les n premiers indices sont repris de A, et les p indices suivants sont repris à partir de B. Leurs valence est la même que l'indice dont ils proviennent. Chaque composante du résultat est le produit :
- de la composante de A associée aux n premiers indices de la composante du résultat
- de la composante de B associée aux p derniers indices de la composante du résultat.
Exemple : Si on représente deux formes linéaires par deux tenseurs (donc tenseurs d'ordre 1 et covariants), alors le produit tensoriel des deux tenseurs représente une forme bilinéaire (En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme bilinéaire est un type particulier d'application qui,...), linéaire par rapport à chacune des variables des formes linéaires de départ. La notion de produit tensoriel provient donc directement de la notion de produit de fonctions.

Abaissement d'indice

Un indice haut peut être changé en un indice bas par multiplication avec le tenseur métrique inverse, gab

T_{ac}=g_{ab} T^b_c

(On utilise la convention d'Einstein, le signe somme sur l'indice b est sous-entendu)
Le résultat est un tenseur de même ordre mais de valence différente : un indice contravariant est devenu covariant dans le tenseur résultat.

Élévation d'indice

Un indice bas peut être changé en indice haut par multiplication avec le tenseur métrique gab :

T^a_c=g^{ab}T_{bc}

Le résultat est un tenseur du même ordre mais de valence différente : un indice covariant est devenu contravariant dans le tenseur résultat.

Contraction

Le contracté d'un tenseur sur deux indices i et j, l'un étant covariant et l'autre contravariant est un tenseur d'ordre n-2 où n est l'ordre du tenseur de départ. Les indices i et j ont disparu dans le tenseur résultat ; la valence des autres indices est inchangée.

T^a=T^{ac}_c

Ici on a fait la somme sur toutes les valeurs possibles des deuxièmes et troisièmes indices, quand ceux-ci sont égaux.

Produit tensoriel contracté

Le produit tensoriel contracté entre A d'ordre n, et B d'ordre p, est un tenseur d'ordre (n+p-2). Les n-1 premiers indices proviennent de A (leurs valences respectives sont les mêmes que les n-1 premiers indices de A), les p-1 derniers proviennent de B (leurs valences respectives sont les mêmes que les p-1 derniers indices de B). Le produit tensoriel contracté est un produit tensoriel suivi d'une contraction entre l'indice n et l'indice n+1 du tenseur d'ordre n+p.
Une généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent...) de ce produit contracté est le double-produit contracté (dont le résultat est un tenseur d'ordre n+p-4), le triple-produit contracté (dont le résultat est un tenseur d'ordre n+p-6), etc. De manière générale, le p-produit contracté définit un produit scalaire pour l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre p. Le double-produit contracté est notamment très utilisé pour décrire la déformation élastique des matériaux (Un matériau est une matière d'origine naturelle ou artificielle que l'homme façonne pour en faire des objets.).

Champs de tenseurs

Gradient

Le gradient d'un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de tenseurs d'ordre n (ce sont les tenseurs qui sont d'ordre n) est un champ de tenseurs d'ordre n+1. Les n premiers indices ont la même valence que le tenseur de départ. L'indice supplémentaire est covariant. C'est une sorte de dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus...) spatiale.

Divergence

La divergence d'un tenseur d'ordre n est un tenseur d'ordre n−1. L'indice manquant est contravariant.

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