Vendredi 25 Avril 2025
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Tenseur métrique - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
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- Introduction - Définition - Coordonnées rectilignes - Pseudo-métrique - Montée et descente d'indices - Cas des coordonnées curvilignes - Changement de base - Distances et angles - Quelques exemples - Produit avec sa dérivée partielle

Changement de base

Lors d'un changement de base, le tenseur métrique se transforme de la manière suivante ( M est la matrice de passage d'une base dont on connait la métrique g vers une autre base ):

g'_{kl} = M^i_{\ k} M^j_{\ l}\ g_{ij}

ou en notation matricielle:

G' = M^TGM~

Distances et angles

La longueur d'un segment d'une courbe paramétrée par t partant du point a et arrivant au point b est définie par :

L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij} \frac{\mathrm dx^i}{\mathrm dt} \frac{\mathrm dx^j}{\mathrm dt}}\mathrm dt

où (x1(t),...,xn(t)) est l'équation décrivant cette courbe dans le système de coordonnées local.

On l'écrit souvent avec la notation :

\mathrm ds^2 = g_{ij}\,\mathrm dx^i\,\mathrm dx^j .

L'angle θ entre deux vecteurs tangents u et v est défini par :

\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j} {\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}}

Note: En coordonnées rectilignes, les vecteurs ne sont pas nécessairement tangents.

Quelques exemples

Exemple 1

Dans un espace euclidien à 2 dimensions, et en prenant un repère cartésien orthonormé, le tenseur métrique est :

G = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

et la longueur d'une courbe vaut :

L = \int_a^b \sqrt{ (\mathrm dx^1)^2 + (\mathrm dx^2)^2}

Exemple 2

On se propose de calculer le tenseur métrique pour un espace euclidien et le système de coordonnées sphériques. Les équations suivantes nous donnent les coordonnées (x,y,z) exprimées dans un repère orthonormé cartésien en fonction des coordonnées sphériques (r,θ,φ) (voir ci-dessous).

\begin{cases} x=r\sin\theta \cos\phi \\ y=r\sin\theta \sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases}

On peut maintenant écrire la matrice jacobienne :

\quad J = \begin{bmatrix} \frac{\partial (r\sin\theta \cos\phi)}{\partial r} & \frac{\partial (r\sin\theta \cos\phi)}{\partial \theta} & \frac{\partial (r\sin\theta \cos\phi)}{\partial \phi} \\ \frac{\partial (r\sin\theta \sin\phi)}{\partial r} & \frac{\partial (r\sin\theta \sin\phi)}{\partial \theta} & \frac{\partial (r\sin\theta \sin\phi)}{\partial \phi} \\ \frac{\partial (r\cos\theta)}{\partial r} & \frac{\partial (r\cos\theta)}{\partial \theta} & \frac{\partial (r\cos\theta)}{\partial \phi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin\theta \cos\phi & r\cos\theta \cos\phi & -r\sin\theta \sin\phi \\ \sin\theta \sin\phi & r\cos\theta \sin\phi & r\sin\theta \cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{bmatrix}

Le tenseur métrique est le produit de la matrice jacobienne transposée et de la jacobienne :

g_{ij} = J^T\,J = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta \end{bmatrix}
g_{ij} = J^T\,J = \begin{bmatrix} \sin\theta \cos\phi & \sin\theta \sin\phi & \cos\theta \\ r\cos\theta \cos\phi & r\cos\theta \sin\phi & -r\sin\theta \\ -r\sin\theta \sin\phi & r\sin\theta \cos\phi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin\theta \cos\phi & r\cos\theta \cos\phi & -r\sin\theta \sin\phi \\ \sin\theta \sin\phi & r\cos\theta \sin\phi & r\sin\theta \cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{bmatrix}
\begin{align} g_{11} &= \sin^2\theta \cos^2\phi + \sin^2\theta \sin^2\phi + \cos^2\theta = \sin^2\theta ( \cos^2\phi + \sin^2\phi ) + \cos^2\theta = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \\ g_{21}&= r\cos\theta \sin\theta \cos^2\phi + r\cos\theta \sin\theta \sin^2\phi - r\cos\theta \sin\theta = r\cos\theta \sin\theta (\cos^2\phi + \sin^2\phi) - r\cos\theta \sin\theta \\ &= r\cos\theta \sin\theta - r\cos\theta \sin\theta = 0 \\ g_{31}&= -r\sin^2\theta \sin\phi \cos\phi + r\cos\phi \sin^2\theta \sin\phi + 0 = 0 \\ g_{12} &= r\sin\theta \cos\theta \cos^2\phi + r\sin\theta \cos\theta \sin^2\phi -r \sin\theta \cos\theta = r\sin\theta \cos\theta ( \cos^2\phi + \sin^2\phi ) -r \sin\theta \cos\theta \\ &= r\sin\theta \cos\theta -r\sin\theta \cos\theta = 0 \\ g_{22}&= r^2\cos^2\theta \cos^2\phi + r^2\cos^2\theta \sin^2\phi + r^2\sin^2\theta = r^2\cos^2\theta ( \cos^2\phi + \sin^2\phi ) + r^2\sin^2\theta \\ &= r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta = r^2 \\ g_{32}&= -r\sin\theta \sin\phi \cos\theta \cos\phi +r\sin\theta \sin\phi \cos\theta \cos\phi + 0 = 0 \\ g_{13} &= -r\sin^2\theta \cos\phi \sin\phi + r\sin^2\theta \sin\phi \cos\phi + 0 = 0 \\ g_{23} &= -r^2\sin\theta \sin\phi \cos\theta \cos\phi + r^2\sin\theta \sin\phi \cos\theta \cos\phi + 0 = 0 \\ g_{33} &= r^2\sin^2\theta \sin^2\phi + r^2\sin^2\theta \cos^2\phi + 0 = r^2\sin^2\theta ( \sin^2\phi + \cos^2\phi ) = r^2\sin^2\theta \end{align}

Exemples de métriques

Coordonnées polaires

Plan euclidien, coordonnées polaires : (x1,x2) = (r,θ)

G = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix}
\mathrm ds^2 = \mathrm dr^2 + r^2\mathrm d\theta^2~

Espace euclidien, coordonnées cylindriques : (x1,x2,x3) = (r,θ,z)

G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
\mathrm ds^2 = \mathrm dr^2 + r^2\mathrm d\theta^2 + \mathrm dz^2~
Coordonnées sphériques

Espace euclidien, coordonnées sphériques : (x1,x2,x3) = (r,θ,φ)

G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\sin^2 \theta\end{bmatrix}

\mathrm ds^2 = \mathrm dr^2 + r^2\mathrm d\theta^2 + r^2\sin^2\theta \mathrm d\phi^2~

Espace de Minkowski, espace-temps plat (relativité restreinte) : (x0,x1,x2,x3) = (ct,x,y,z)

G = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
\mathrm ds^2 = -c^2\mathrm dt^2 + \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 + \mathrm dz^2~

Métrique de Schwarzschild (solution particulière de la relativité générale, l'espace est ici courbé) : (x0,x1,x2,x3) = (ct,r,θ,φ)

G = \begin{bmatrix} -(1-\frac{2GM}{rc^2}) & 0 & 0 & 0\\ 0 & (1-\frac{2GM}{r c^2})^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix}
\mathrm ds^2=-\left(1-\frac{2Gm}{r c^2}\right)c^2\mathrm dt^2 + \left(1-\frac{2Gm}{r c^2}\right)^{-1}\mathrm dr^2+r^2\mathrm d \theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \mathrm d \phi^2

Produit avec sa dérivée partielle

Le produit contracté du tenseur métrique et de sa dérivée partielle change de signe lorsqu'on remonte les indices d'un terme du produit et que l'on descend les indices de l'autre terme :

gijgij,k = − gijgij,k.

La matrice gij est l'inverse de la matrice du tenseur métrique gij :

g^{ij} g_{jk} = \delta^i_k . Profitant de la symétrie du tenseur métrique, on a g^{ij} g_{ji} = \delta^i_i . Or la contraction \delta^i_i du tenseur unité donne un entier, la dimension de l'espace. C'est donc une constante. Ainsi gijdgij = − gijdgij. D'où l'expression cherchée.
  • Si gij,k était un tenseur, on aurait le signe +.
  • On a bien un tenseur en calculant la dérivée covariante gij;k du tenseur métrique, mais ce tenseur est nul.
Cas des coordonnées curvilignes
- Introduction - Définition - Coordonnées rectilignes - Pseudo-métrique - Montée et descente d'indices - Cas des coordonnées curvilignes - Changement de base - Distances et angles - Quelques exemples - Produit avec sa dérivée partielle
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