Système dynamique - Définition et Explications

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Introduction

En mathématiques, en physique théorique et en ingénierie, un système dynamique est un système classique qui évolue au cours du temps de façon à la fois :

  • causale, c’est-à-dire que son avenir ne dépend que de phénomènes du passé (Le passé est d'abord un concept lié au temps : il est constitué de l'ensemble des configurations successives du monde et s'oppose au futur sur une échelle des temps centrée sur le présent. L'intuition...) ou du présent ;
  • déterministe, c’est-à-dire qu'à une « condition initiale » donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction,...) à l'instant (L'instant désigne le plus petit élément constitutif du temps. L'instant n'est pas intervalle de temps. Il ne peut donc être considéré comme une durée.) « présent » va correspondre à chaque instant ultérieur un et un seul état « futur » possible.

On exclut donc ici conventionnellement les systèmes « bruités » intrinsèquement stochastiques, qui relèvent de la théorie des probabilités (La théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Les objets centraux de la...).

L'évolution déterministe du système dynamique (En mathématiques, en physique théorique et en ingénierie, un système dynamique est un système classique qui évolue au cours du temps de façon à la...) peut alors se modéliser de deux façons distinctes :

  • une évolution continue dans le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.), représentée par une équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer...) différentielle ordinaire. C'est a priori la plus naturelle physiquement, puisque le paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) temps nous semble continu.
  • une évolution discontinue dans le temps. Ce second cas est souvent le plus simple à décrire mathématiquement, même s'il peut sembler a priori moins réaliste physiquement. Cependant, l'étude théorique de ces modèles discrets est fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.), car elle permet de mettre en évidence des résultats importants, qui se généralisent souvent aux évolutions dynamiques continues.

Système dynamique à temps discret

Notion d'état dynamique : aspect philosophique

Il faut faire attention au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du vieillissement, suivi de...) très particulier que prend la notion d’état pour la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) des systèmes dynamiques. Un paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité, ou encore, une situation qui contredit l'intuition commune. Le...) de Zénon permet de présenter la difficulté. Zénon demandait : « Soit une flèche en vol. À un instant, est-ce qu’elle est au repos ou en mouvement ? » Si on répondait qu’elle est en mouvement, il disait « Mais être en mouvement, c’est changer de position. À un instant, la flèche a une position, elle n’en change pas. Elle n’est donc pas en mouvement. » Si on répondait qu’elle est au repos, il disait « Mais si elle est au repos à cet instant, elle est aussi au repos à tous les autres instants, elle est donc toujours au repos. Elle n’est jamais en mouvement. Mais comment alors peut-elle passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) d’une position à une autre ? » Il en concluait qu’il n’est pas possible de dire des vérités sur ce qui est en mouvement. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ce qui est en mouvement serait par nature mensonger et il n’y aurait pas de vérités à propos de la matière (La matière est la substance qui compose tout corps ayant une réalité tangible. Ses trois états les plus communs sont l'état solide,...) mais seulement à propos des grandes idées, pourvu qu’elles soient immuables. Le sens commun est exactement inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que...). On croit plus couramment à la vérité de ce qu’on voit qu’aux vérités métaphysiques. La théorie des systèmes dynamiques rejoint le sens commun sur ce point (Graphie).

La notion d’état dynamique fournit une solution au paradoxe de Zénon : à un instant, la flèche est en mouvement, elle a une position mais elle est en train (Un train est un véhicule guidé circulant sur des rails. Un train est composé de plusieurs voitures (pour transporter des personnes) et/ou de plusieurs wagons...) de changer de position, elle a une vitesse (On distingue :) instantanée. Les nombres qui mesurent sa position et sa vitesse sont les valeurs de ses variables d’état. Les variables d’état sont toutes les grandeurs physiques qui déterminent l’état instantané du système et qui ne sont pas constantes a priori. On les appelle aussi les variables dynamiques. Si on prend une photo au flash on ne voit pas que la flèche est en mouvement, mais on peut le détecter par d’autres moyens, par l’effet Doppler par exemple, sans avoir à mesurer un changement de position. L’état dynamique d’un système est un état instantané, mais c’est un état de mouvement. Il est déterminé par les valeurs de toutes les variables d’état à cet instant.

Espace des phases (L'espace des phases est un espace abstrait dont les coordonnées sont les variables dynamiques du système étudié.)

Pour un système possédant n degrés de liberté, l'espace des phases Γ du système possède n dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...), de telle sorte que l'état complet x(t) \in \Gamma du système à l'instant t est en général un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de...) à n composantes.

Dynamique discrète

Un système dynamique discret est défini par une application bijective \phi : \Gamma \to \Gamma de l'espace des phases sur lui-même. Elle opère de la façon suivante : étant donnée une condition initiale x0 de l'état du système, le premier état suivant est :

x_1 \ = \ \phi(x_0)

Le second état, qui suit immédiatement le premier, est :

x_2 \ = \ \phi(x_1) \ = \ \phi(\phi(x_0)) \ = \ (\phi \circ \phi)(x_0) \ = \ \phi^2(x_0)

et ainsi de suite, de telle sorte que le n-ième état est donné par :

x_n \ = \ \phi(x_{n-1}) \ = \ \dots \ = \ \phi^n(x_0)

Pour remonter dans le passé, il suffit d’inverser la fonction φ, ce qui est toujours possible pour une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit...).

Classification des dynamiques

On distingue plusieurs grands types de dynamiques en fonction de la nature mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les...) de l'espace des phases :

  • lorsque Γ est un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent...) et l'application \phi : \Gamma \to \Gamma un homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque est...), on parle de dynamique topologique.
  • lorsque Γ est une variété différentielle et l'application \phi : \Gamma \to \Gamma un difféomorphisme, on parle de dynamique différentielle.
  • lorsque Γ est un espace mesuré et \phi : \Gamma \to \Gamma une application qui préserve la mesure, on entre dans le domaine de la théorie ergodique, et on parle de système dynamique mesuré

Exemples

La fonction logistique (En mathématiques, la fonction logistique est une fonction polynômiale, souvent citée comme exemple de la complexité pouvant surgir de simples équations non-linéaires. Cette fonction fut popularisée par le biologiste Robert May en...)

Bifurcations.

La fonction logistique (La logistique est l'activité qui a pour objet de gérer les flux physiques d'une organisation, mettant ainsi à disposition des ressources correspondant aux...) est une application du segment [0, 1] dans lui-même qui sert de récurrence à la suite :

x_{n+1} \ = \ \mu \, x_n \ (1 - x_n)

n = 0, 1, ... dénote le temps discret, x l'unique variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques,...) dynamique, et 0 \le \mu \le 4 un paramètre.

La dynamique de cette application présente un comportement très différent selon la valeur du paramètre μ :

  • Pour 0 \le \mu < 3 , le système possède un point fixe (En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x.) attractif, qui devient instable lorsque μ = 3.
  • Pour 3 \le \mu < 3,57 ... , l'application possède un attracteur (Dans l'étude des systèmes dynamiques, un attracteur (ou ensemble-limite) est un ensemble, une courbe ou un espace vers lequel un système évolue de façon irréversible en l'absence de perturbations....) qui est une orbite (En mécanique céleste, une orbite est la trajectoire que dessine dans l'espace un corps autour d'un autre corps sous l'effet de la gravitation.) périodique, de période 2nn est un entier qui tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) lorsque μ tend vers 3,57 ...
  • Lorsque μ = 3,57..., l'application possède un attracteur de Feigenbaum fractal (mais non étrange) découvert par May (1976).
  • Le cas μ = 4 avait été étudié dès 1947 par Ulam et von Neumann. On peut dans ce cas précis établir l'expression exacte de la mesure invariante ergodique.

On obtient donc une succession de bifurcations de la régularité vers le chaos lorsque le paramètre augmente, résumée sur la figure ci-jointe.

L'application « chat » d'Arnold (1968)

Le nom d'application « chat » provient d'un jeu de mot anglais intraduisible en français : en effet, « chat » se dit « cat » en anglais, et Arnold utilisait ce mot comme abréviation de : « Continuous Automorphisms of the Torus », littéralement : « automorphismes continus sur le tore ».

L'application « chat » est une application du carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle...) [0, 1] x [0, 1] dans lui-même définie par :

\begin{matrix}x_{n+1}  & = &  x_n \, + \, y_n \quad (\mathrm{mod} \ 1) \\ y_{n+1}  & = & x_n \, + \, 2 \, y_n \quad (\mathrm{mod} \ 1) \end{matrix}

mod 1 signifie : modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En...) 1. Cette condition entraine que le carré [0, 1] x [0, 1] voit ses bords recollés deux à deux pour former le « tore » du titre. Il s'agit d'un système dynamique conservatif, qui préserve la mesure de Lebesgue (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.) dx dy.

L'application de Hénon (1976)

L'application de Hénon est une bijection du carré [0, 1] x [0, 1] dans lui-même définie par :

\begin{matrix}x_{n+1}  & = &  y_n \, + \, 1 \, - \, a \, x_n^2 \\ y_{n+1}  & = & b \,  x_n \end{matrix}

a et b sont deux paramètres, dont des valeurs typiques sont a = 1,4 et b = 0,3. Avec ces valeurs, la dynamique présente un attracteur étrange de nature fractale (On nomme fractale ou fractal (nom masculin moins usité), une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou...), de type Cantor.

Hénon a obtenu ses équations en cherchant une version simplifiée du système dynamique de Lorenz à temps continu introduit en 1963 (cf. plus bas). Le système dynamique de Hénon n'est pas conservatif, car le jacobien de la transformation est constant et vaut - b, qui est différent de l'unité dans les cas intéressants.

Autres exemples

  • La dynamique holomorphe, où l'espace des phases est le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe...) \mathbb{C} et φ une application holomorphe. Une telle dynamique est par exemple à l'origine de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) de Mandelbrot.
  • La percolation (À partir d'une certaine quantité critique de fluide sur une cloison, un pont s'établit permettant au fluide de la traverser)
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