Système dynamique - Définition

Illustration

Exemple de système dynamique

Dans cet exemple, la première roue entraine la seconde, la seconde entraine la troisième.
Le diamètre et la position de la seconde roue varient dans le temps, la vitesse de rotation de la troisième suit.
Les valeurs des paramètres des roues sont issues du modèle ci-dessous.

Modèle de système dynamique

Dans les cadres 'Wheel1, Wheel2 et Wheel3', on calcule les rayons des roues 1,2 et 3 à partir de leurs rayons internes et externes. On fait varier le rayon de la deuxième roue en agissant sur son rayon externe 'R2o' puis on recalcule sa position, son angle de rotation, et celui de la troisième roue.

Les systèmes dynamiques et la théorie du chaos

Des systèmes dynamiques non linéaires, ou simplement linéaires par morceau, peuvent faire preuve de comportements complètement imprévisibles, qui peuvent même sembler aléatoires (alors qu'il s'agit de systèmes parfaitement déterministes). Cette imprédictibilité est appelée chaos. La branche des systèmes dynamiques qui s'attache à définir clairement et à étudier le chaos s'appelle la théorie du chaos.

Cette branche des mathématiques décrit qualitativement les comportements à long terme des systèmes dynamiques. Dans ce cadre, on ne met pas l'accent sur la recherche de solutions précises aux équations du système dynamique (ce qui, de toute façon, est souvent sans espoir), mais plutôt sur la réponse à des questions comme « Le système convergera-t-il vers un état stationnaire à long terme, et dans ce cas, quels sont les états stationnaires possibles ? » ou « Le comportement à long terme du système dépend-il des conditions initiales ? ».

Un objectif important est la description des points fixes, ou états stationnaires, du système ; ce sont les valeurs de la variable pour lesquelles elle n'évolue plus avec le temps. Certains de ces points fixes sont attractifs, ce qui veut dire que si le système parvient à leur voisinage, il va converger vers le point fixe.

De même, on s'intéresse aux points périodiques, les états du système qui se répètent au bout d'un certain nombre de pas (leur période). Les points périodiques peuvent également être attractifs. Le théorème de Sarkovskii donne une contrainte sur l'ensemble des périodes possibles des points d'un système dynamique à variable réelle et fonction d'évolution continue ; notamment, s'il existe un point de période 3, il existe des points de période quelconque (« période 3 = chaos »).

Le comportement chaotique de systèmes complexes n'est pas une surprise – on sait depuis longtemps que la météorologie comprend des comportements complexes et même chaotiques. La véritable surprise est plutôt la découverte de chaos dans des systèmes presque triviaux ; ainsi, la fonction logistique est un simple polynôme du second degré, pourtant le comportement de ses solutions est chaotique.

Bibliographie

Ouvrages d'initiation

• John Hubbard et Beverly West ; Équations différentielles et systèmes dynamiques, Cassini (1999), ISBN 284225015X.

• Grégoire Nicolis & Ilya Prigogine ; À la rencontre du complexe, Collection Philosophie d'aujourd'hui, Presses Universitaires de France (1992), ISBN 2-13-043606-4.

• Boris Hasselblatt & Anatole Katok ; A First Course in Dynamics with a Panorama of Recent Developments, Cambridge University Press (2003), ISBN 0521587506.

• Diederich Hinrichsen & Anthony J. Pritchard ; Mathematical Systems Theory. Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness, New York: Springer (2005). ISBN 978-3-540-44125-0

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• David Ruelle ; "Hasard et Chaos", Odile Jacob (Paris, 1991).$

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Ouvrages plus techniques

• Steve Smale ; The mathematics of time - Essays on Dynamical Systems, Economic Processes & Related Topics, Springer-Verlag (1980), ISBN 0-387-90519-7.

• Boris Hasselblatt & Anatole Katok (eds.) ; Handbook of Dynamical Systems, Elsevier.
  • Vol. 1A (2002), ISBN 0-444-82669-6.
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• B. Fiedler (ed.) ; Handbook of Dynamical Systems - Vol. 2: Applications, Elsevier (2002).

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Bibliothèque virtuelle

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• David Ruelle ; Ergodic theory of differentiable dynamical systems, Publications Mathématiques de l'IHÉS 50 (1979), 27-58. Texte complet disponible au format pdf.