Système d'équations (mathématiques élémentaires) - Définition

Définitions mathématiques

On appelle système d'équations un ensemble de plusieurs équations à plusieurs inconnues que l'on doit résoudre en même temps.

Exemple : est un système de deux équations à deux inconnues.

Résoudre , c'est trouver toutes les valeurs qu'il faut donner à chaque inconnue en même temps pour que toutes les égalités soient vraies.

Le système est linéaire s'il existe des nombres réels tels que soit de la forme : .

Système de 3 équations à 3 inconnues

Les systèmes de 3 équations à 3 inconnues se résolvent aussi de cette manière :

Méthode par substitution

.

Pour résoudre ce système de 3 équations à 3 inconnues, on isole une inconnue dans une des équations. Dans ce système, on isole l'inconnue x dans l'équation [1]

[1] : .

Maintenant on remplace l'inconnue dans les équations [2] et [3], qui donne un système de 2 équations à 2 inconnues à résoudre avec les méthodes de substitution ou d'addition .

.

Après avoir trouvé et , on les remplace dans l'équation [1] pour trouver .

Méthode par élimination

.

Pour résoudre ce système, on peut éliminer par exemple dans les équations [2] et [3] en les remplaçant par les équations - 2 × [1] + [2] et [1] + [3]. Le système est alors équivalent au système

.

Il suffit alors d'éliminer une autre inconnue, par exemple, dans [3'] en la remplaçant par 4 × [3'] + [2']. Le système est alors équivalent au système triangulaire suivant :

L'équation [3"] permet de trouver , qui remplacé dans l'équation [2'] permet de trouver . Ces deux valeurs, remplacées dans l'équation [1] permet de trouver

Cette méthode se généralise à des systèmes comportant davantage d'équations et davantage d'inconnues et prend le nom de méthode du pivot de Gauss.