Superficie - Définition et Explications

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Histoire

Haute Antiquité

Selon Hérodote, la géométrie dans l'Égypte antique prend son origine dans la nécessité de répartir équitablement les surfaces des champs cultivés après les crues du Nil. Les Égyptiens connaissaient les formules usuelles de calcul des aires des polygones et la majorité des problèmes de géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle,...) conservés de cette époque concernent des problèmes d'aires.

À Babylone, l'aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) A était calculée à partir du périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la...) P d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée...) suivant une procédure équivalente à la formule :

A = \dfrac{P^2}{12}.

Même lorsqu'ils connaissaient le diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment....) d'un cercle, les scribes passaient toujours par le calcul de son périmètre (en multipliant le diamètre par 3) pour ensuite obtenir son aire. La procédure était la suivante, comme dans cet exemple, extrait de la résolution d'un problème où il est demandé de déterminer le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) d'une bûche cylindrique dont le diamètre était 1 + 23 :

Méthode babylonienne — Triple 1 + 23, le dessus de la bûche, et 5, la circonférence de la bûche, viendra. Prends le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois un rectangle...) de 5 et 25 viendra. Multiplie 25 par 112, la constante, et 2 + 112, l'aire, viendra.

L'aire du disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet —...) rouge (La couleur rouge répond à différentes définitions, selon le système chromatique dont on fait usage.) est proche de celle de l'octogone construit sur le tiers du carré.

En Égypte, le calcul s'effectuait à partir du diamètre D :

A =\left(\dfrac 8 9 D\right)^2

Le raisonnement consistait probablement à inscrire un octogone et un cercle dans un carré. La figure ci-contre illustre ce raisonnement : si le carré a pour côté le diamètre D du disque, l'octogone construit sur le tiers du côté du carré possède une aire de

\dfrac 7 9 D^2 = \dfrac{63}{81} D^2.

L'aire du disque est considérée comme légèrement supérieure à celle de l'octogone, soit

A=\dfrac{64}{81} D^2 = \left(\dfrac 8 9 D\right)^2.

La Grèce antique

  • Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien...), dans ses Éléments, démontre l'identité remarquable
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

par un raisonnement sur des aires de carrés.

  • Héron d'Alexandrie (Alexandrie (grec :?λεξ?νδρεια, Copte : Rakot?, Arabe : ??????????, Al-?Iskandariya) est une ville d’Égypte de près de quatre...) (c. 100 ap. J.-C.) publie la formule permettant de calculer l'aire d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est...), connaissant ces trois côtés, et appelé formule de Héron. Mais cette formule était connue d'Archimède

Mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...) arabes

Al-Khawarizmi, dans son Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, analyse et résout les équations du second degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) par des considérations géométriques sur des aires de carrés, poursuivant en cela la tradition de l'algèbre géométrique (En mathématiques, l’algèbre géométrique regroupe des méthodes géométriques, utilisées par les grecs de l'antiquité, pour...) remontant à l'Antiquité.

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