Superficie - Définition et Explications

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Calcul de l'aire

La figure de base pour le calcul d'une aire est le carré unité, de côté 1, suivie du rectangle. À l'aide de l'aire du rectangle, il est possible de déterminer l'aire d'un triangle rectangle (vu comme un demi-rectangle) ou d'un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.), puis celle d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...) et, par suite, d'un polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est une figure géométrique plane, formée...) quelconque.

La formule de l'aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) d'un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) est plus complexe à démontrer : elle nécessite le passage par une limite de suite. L'idée d'approcher successivement une surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et...) complexe par une suite de surfaces plus simples (en général, des rectangles ou des polygones) est fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.). Une surface qui peut être « correctement » approchée par des rectangles, au point (Graphie) qu'on puisse en déduire son aire par un calcul de limite est dite quarrable.

Dans certains cas, l'analyse vient au secours de la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...), lorsque les raisonnements par découpage et recollement ne suffisent plus. Certaines aires sont égales à des intégrales qui peuvent parfois être calculées à partir de primitives d'une fonction.

D'autres cas sont plus pathologiques : les mathématiciens ont établi une théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...) de la mesure pour généraliser les résultats sur les aires. Pour les fractales, les aires ne sont pas calculables — ou non satisfaisantes. La notion de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) de Hausdorff généralise celle d'aire, pour un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une...) fractal plan.

Surfaces usuelles

Ci-dessous sont données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) les formules de calcul d'aire usuelles les plus courantes et des démonstrations, qui illustrent les raisonnements géométriques souvent utilisés pour résoudre les problèmes d'aire : « coupé-collé », parfois en imaginant une infinité de découpages par des considérations sur les limites.

Rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.)

Un rectangle longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de...) 5 et de largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit la mesure la plus étroite de sa face. En géométrie plane, la largeur est la plus petite des deux mesures d'un...) 4 contient 5 × 4 = 20 carrés unité. Son aire est donc égale à 20.

Aire d'un rectangle — L'aire d'un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de...)

Un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales à des nombres entiers m et n peut être vu comme composé de m lignes contenant chacune n carrés unité. Son aire est donc égale à m × n.

Si les dimensions du rectangle sont des fractions mp et nq, on considère qu'on a « découpé » le rectangle de dimensions m et n en p parts égales, puis chacune de ces parts à nouveau en q parts égales. Le rectangle de dimensions m et n contient donc p × q fois celui de dimensions mp et nq. L'aire de ce dernier rectangle est donc égale à mp × nq.

Ce résultat se généralise au cas où la longueur et la largeur du rectangle sont des nombres réels, mais le raisonnement est plus abstrait : il nécessite un passage à la limite, en considérant que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) nombre réel (En mathématiques, un nombre réel est un objet construit à partir des nombres rationnels, qui modélise la notion de longueur et d'autres grandeurs physiques.) est la limite d'une suite de nombres rationnels.

Cas particulier du carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est...)

Un carré est un rectangle dont la longueur et la largeur sont égales à un même nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) appelé côté du carré. Un carré de côté c possède une aire égale à c × c, ce qui se note c2. Réciproquement, tout nombre de la forme c2 (où c est positif) peut être considéré comme l'aire d'un carré de côté c, ce qui explique que c2 se lit « c au carré » ou « le carré de c ».

Triangle

La formule de calcul de l'aire d'un triangle la plus courante est :

Aire d'un triangle — L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.).

Tout triangle rectangle dont les cathètes (ou petits côtés) mesurent a et b peut être considéré comme la moitié d'un rectangle de dimensions a et b partagé en deux par une de ses diagonales. L'aire de ce triangle rectangle est donc égale à \frac{a \times b}{2}.

Plus généralement, tout triangle de hauteur d'un triangle h et de côté associé b (dans ce cas, le côté est appelé base) est la moitié d'un rectangle de dimensions h et b, ce qui donne la formule classique de calcul d'aire d'un triangle :

A = \frac{b \times h}{2}

D'autres méthodes permettent de calculer l'aire d'un triangle et, par suite, de tout polygone en utilisant le fait que tout polygone peut être partagé en un nombre fini de triangles. C'est notamment en partageant un polygone régulier en triangles dont un sommet est son centre qu'on obtient les formules usuelles de calcul de l'aire d'un polygone régulier.

Disque

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer d'une...) — L'aire d'un disque de rayon R est égale à π × R 2.

La démonstration de ce résultat repose sur un passage à la limite en partageant le disque en une infinité de triangles.

En considérant n points A1, A2, ... An régulièrement espacés sur un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle....) de centre O et de rayon R, on obtient un polygone régulier à n côtés constitué de n triangles isocèles OA1A2, OA2A3, etc. Tous ces triangles ont une hauteur égale à R et les bases associées, pour tous ces triangles, sont égales à la distance A1A2. L'aire de chaque triangle est donc 12R × A1A2 et celle du polygone régulier A1A2...An est 12R × nA1A2. Lorsque le nombre n de points tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en...), le périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la...) du polygone tend à se confondre avec celui du cercle dans lequel il est inscrit, donc nA1A2 tend vers 2πR. Ainsi, 12R × nA1A2 tend vers 12R × 2πR ce qui donne bien le résultat annoncé.

Approximations successives d'un disque par des polygones réguliers intérieurs, pour n allant de 3 à 10.

Intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande...)

L'aire du domaine plan S est l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [a ; b].

Le plan étant muni d'un repère orthonormé, pour une fonction numérique (Lorsque nous exprimons qu’une quantité dépend d’une autre quantité nous supposons qu’il existe un moyen d’obtenir cette quantité à partir d’une...) f positive et continue, l'intégrale de Riemann (En analyse réelle, l'intégrale de Riemann est une façon simple de définir l'intégrale d'une fonction sur un intervalle. En termes géométriques, cette...) de f sur un intervalle [a ; b] est l'aire du domaine défini par :

  • l'axe des abscisses ;
  • les droites d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de...) respectives x = a et x = b ;
  • la graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) de la fonction f.

Cette intégrale est notée \int_a^b f(x)\text{d}x.

Cette aire peut être évaluée par des méthodes numériques en approchant l'aire sous la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les...) par des surfaces usuelles : rectangles ou trapèzes notamment. Dans certains cas, un calcul de limite permet de déterminer la valeur exacte de l'intégrale, par un raisonnement semblable à celui utilisé ci-dessus pour le disque.

Un raisonnement mêlant des considérations sur les aires et du calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) permet de prouver que

\int_a^b f(x)\text{d}x = F(b) - F(a),

F est une primitive de f sur [a ; b]. Ainsi, la connaissance de primitives d'une fonction permet d'élargir l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme...) des aires calculables par « découpage » vues précédemment.

Ainsi les raisonnements sur les aires et le calcul différentiel se nourrissent et s'enrichissent mutuellement. Les calculs d'aire ont de ce fait un retentissement sur de nombreux domaines des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les...), par le biais des intégrales, notamment les probabilités ou les statistiques (La statistique est à la fois une science formelle, une méthode et une technique. Elle comprend la collecte, l'analyse, l'interprétation de données ainsi que la présentation de ces ressources afin de les rendre...) par le calcul de la valeur moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils...) d'une fonction.

Méthode de Monte Carlo

Si le calcul d'aires permet d'améliorer la connaissance de probabilités via les intégrales, la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est également vraie. Soit une surface S, dont l'aire est connue, qui en contient une autre, L d'aire inconnue. La méthode de Monte-Carlo (On appelle méthode de Monte-Carlo toute méthode visant à calculer une valeur numérique, et utilisant des procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes. Le nom de ces méthodes fait...) consiste à envoyer des points au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon de causes, au moins d'une reconnaissance de cause à effet d'un événement.) dans S. On dénombre alors le nombre total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme. Exemple : "Le total des dettes". En physique le total n'est pas...) nS de points et le nombre nL qui se sont trouvés, par hasard, dans L. Il est alors probable que le rapport des aires de L et S soit proche du rapport de nL sur nS. La marge d'erreur sera statistiquement d'autant plus faible que le nombre de points nS sera grand.

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