Historiquement, l'observation que les noyaux ayant un nombre pair de nucléons sont systématiquement plus liés que ceux en ayant un nombre impair conduisit à proposer l'hypothèse de l'appariement nucléaire. L'idée, fort simple, est que chaque nucléon se lie avec un autre pour former une paire. Lorsque le noyau possède un nombre pair de nucléons, chacun d'entre eux trouve un partenaire. Pour exciter un tel système, il faut alors fournir une excitation au moins égale à l'énergie nécessaire pour briser une paire. Au contraire, dans le cas des noyaux impairs, il existe un nucléon célibataire, qui requiert moins d'énergie à exciter.
Ce phénomène est très analogue à celui de la supraconductivité en physique du solide (tout du moins de la supraconductivité à basse température). La première description théorique de l'appariement nucléaire, proposée à la fin des années 1950 par Aage Bohr et Ben Mottelson (et qui contribua à leur valoir le prix Nobel de physique en 1975), fut d'ailleurs la théorie dite BCS, ou Bardeen-Cooper-Schrieffer qui décrit la supraconductivité dans les métaux. Sur le plan théorique, le phénomène d'appariement tel que décrit par la théorie BCS se superpose à l'approximation de champ moyen. Autrement dit, les nucléons sont à la fois soumis au potentiel de champ moyen et à l'interaction d'appariement, mais l'un est indépendant de l'autre.
Or il est tentant d'interpréter l'interaction d'appariement comme une interaction résiduelle. Il a été vu que dans l'approche Hartree-Fock, le potentiel de champ moyen est déterminé à partir de l'interaction à deux corps nucléon-nucléon. Sans trop rentrer dans les détails techniques, seul un certain nombre de toutes les interactions possibles sont prises en compte effectivement pour construire le champ moyen en question. Tout ce qui "reste" est qualifié d'interaction résiduelle. En d'autres termes, l'interaction nucléon-nucléon dans le noyau se décompose en un potentiel de champ moyen et une interaction résiduelle. La validité de l'approche de champ moyen vient de ce que cette dernière est quantitativement beaucoup plus faible que le champ moyen et peut donc être négligée en première approximation.
Néanmoins, si nous interprétons l'interaction d'appariement comme une composante de l'interaction résiduelle, alors il devrait exister des "liens" entre appariement et champ moyen, puisque tous deux procèdent de la même interaction nucléon-nucléon. Ces liens ne sont pas pris en compte dans l'approche BCS. Pour pallier cette difficulté, il a été développé une approche dite Hartree-Fock-Bogolyubov (HFB), qui inclut dans le même formalisme le champ moyen, l'appariement, et l'interaction entre les deux.
L'une des grandes différences entre la supraconductivité en physique atomique et l’appariement en physique nucléaire tient au nombre de particules. Le nombre de paires d'électrons dans un métal est colossal en regard du nombre de nucléons dans le noyau. Or l'approche BCS (ainsi d'ailleurs que l'approche HFB) décrit la fonction d'onde du système (métal ou noyau) comme une superposition de fonctions d'onde correspondant à des nombres de particules différents. Si dans le cas d'un métal, cette violation du nombre de particules n'a guère d'importance pour des raisons statistiques, en physique nucléaire, le problème est réel. Il a donc fallu développer des techniques spécifiques de restauration du nombre de particules, dans le cadre général de la restauration des symétries brisées mentionnées plus haut.
Les noyaux atomiques peuvent également manifester des comportements dits collectifs, essentiellement de type rotationnel ou vibrationnel. De tels phénomènes se conçoivent aisément si l'on assimile un noyau atomique a une sorte de ballon rempli de billes, qui figureraient les nucléons. Dans le cas de la rotation collective nucléaire, par exemple, tout se passe comme si les billes se déplaçaient à l'unisson à l'intérieur du ballon pour donner l'impression que le ballon lui-même tourne comme une toupie. Dans le cas de la vibration, on peut imaginer que les billes s'accumulent en certaines régions du ballon et, ce faisant, déforment la surface du ballon. Cette déformation évolue au cours du temps, reflétant les mouvements internes des billes : la surface vibre.
Naturellement, la description mathématique de tels phénomènes est plus complexe. Tout d'abord, comme il a été mentionné plus haut, un noyau atomique est un objet obéissant aux règles de la mécanique quantique. A ce titre, il n'est pas vraiment correct de décrire un nucléon, ou même un noyau, comme une sorte de bille, si petite soit-elle, l'analogie avec un nuage serait certainement plus réaliste. Dans le cas des théories de champ-moyen, la difficulté majeure consiste à comprendre comment un phénomène de nature aussi collective peut émerger à partir d'un modèle de particules supposées indépendantes les unes des autres. Dans le cas des approches nativement à N-corps, telles que le modèle en couche, la difficulté consiste à identifier les excitations du système qui correspondent à ces phénomènes collectifs.
Expérimentalement, on observe que les noyaux atomiques émettent, dans certaines conditions, d'intenses rayonnements gamma. Il est connu depuis les premiers développements de la mécanique quantique que ces rayonnements gamma correspondent à des transitions, de nature électromagnétique, entre des états du noyau. On peut se figurer cette suite d'états comme les barreaux d'une échelle : l'émission de rayonnements gamma fait descendre l'échelle, de barreau en barreau, jusqu'à ce qu'on ne puisse plus descendre (on dit alors qu'on a atteint l'état fondamental, l'état de plus basse énergie du système). On parle de rotation collective nucléaire lorsque que les énergies de cette séquence d'états se répartissent sur une parabole. On parle de vibration collective lorsque les énergies de la séquence se répartissent sur une droite, et que plusieurs états ont la même énergie mais des moments angulaires différents.
L'un des inconvénients majeurs des approches de champ-moyen en physique nucléaire est la brisure des symétries de l'interaction (brisure de l'invariance par rotation, par translation, du nombre de particules si les corrélations d'appariement sont prises en compte, etc.). Ces symétries peuvent néanmoins être restaurées. Un cas simple est celui de l'invariance par translation: l'interaction nucléon-nucléon possède cette symétrie, mais le noyau étant un objet de taille finie, la brise nécessairement (si on déplace la référentiel selon une ligne droite, le système change). Pour pallier cette difficulté, il suffit de faire un changement de référentiel et passer dans un référentiel lié au noyau (dit intrinsèque). Ainsi, toute translation du référentiel déplaçant aussi le noyau (puisque le référentiel est attaché à ce dernier), l'invariance par translation est préservée. Mathématiquement, des termes de correction du mouvement du centre de masse du noyau doivent être introduits dans l'hamiltonien du système.
Le cas de la violation du nombre de particules dans les approches de type HFB, et plus encore de l'invariance par rotation, est techniquement beaucoup plus complexe. L'une des stratégies suivies est de projeter la fonction d'onde du système qui brise la symétrie concernée sur un sous-espace où cette symétrie est conservée. Deux possibilités se présentent alors:
La première approche présente l'avantage d'être numériquement beaucoup plus légère à mettre en œuvre. Néanmoins, dans certains cas, elle conduit à des résultats non-physiques. La seconde approche est la plus rigoureuse, mais également la plus coûteuse à implémenter numériquement.
La deuxième stratégie consiste à mélanger des fonctions d'onde ayant la symétrie brisée suivant un principe variationnel. C'est la base de la méthode de la coordonnée génératrice (Generator Coordinate Method en anglais, ou GCM). L'idée est de construire un état possédant les bonnes symétries comme une superposition d'états de champ-moyen qui, eux, brisent certaines symétries. Les coefficients de cette superposition sont déterminés de façon auto-cohérente par un calcul variationnel. Cette approche est relativement puissante et ne se limite pas à la restauration de symétries. Elle est en effet employée pour décrire les mouvement collectifs des noyaux.