Structure algébrique - Définition
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Structures algébriques ordonnées
Groupes ordonnés et anneaux ordonnés
On s'intéresse ici aux structures algébriques compatibles avec une relation d'ordre.
- Un monoïde ordonné est un monoïde commutatif muni d'une relation d'ordre pour laquelle les applications partielles de la loi interne sont croissantes. On définit de même des monoïdes préordonnés en remplaçant les relations d'ordre par des relations de préordre.
- Un groupe ordonné est un monoïde ordonné qui est un groupe commutatif. Un groupe préordonné est un monoïde préordonné qui est un groupe.
- Un anneau ordonné est un anneau commutatif muni d'une relation d'ordre pour laquelle il est groupe ordonné pour l'addition et tel que le produits de deux éléments supérieurs ou égaux à 0 sont supérieurs ou égaux à 0.
- Un corps ordonné est un anneau ordonné qui est un corps.
Treillis
Ensembles munis de deux lois internes, qui peuvent aussi s’interpréter comme la borne supérieure et la borne inférieure des couples au sens des relations d'ordre.
- Treillis : un ensemble muni de deux lois de composition internes commutatives, associatives et idempotentes satisfaisant la loi d’absorption.
- Algèbre de Boole : un treillis borné, distributif et complémenté.
Structures algébriques et catégories
Toute structure algébrique possède sa propre notion d’homomorphisme, une application compatible avec ses lois de composition. En ce sens, toute structure algébrique définit une catégorie.
