Sous-espace vectoriel - Définition

Intersection de deux sous-espaces vectoriels

Propriété

Soient et deux sous-espaces vectoriels de E. Alors :

• est un sous-espace vectoriel de E .

Plus généralement, toute intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel, c'est-à-dire que : pour toute famille de sous-espaces vectoriels de E, est un sous-espace vectoriel de E.

Sous-espace vectoriel engendré

Définition

Soit A une partie quelconque de E.

• Si A est non vide, on définit le sous-ensemble suivant de E :

.

(ainsi, Vect(A) est par définition l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de A).

• On complète cette définition en posant .

Propriété 1

Soit A une partie de E.

• L'ensemble Vect(A) est un sous-espace vectoriel de E, et il contient A.
• Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant A, alors .

C'est pourquoi on dit que Vect(A) est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A.

On l'appelle sous-espace vectoriel de E engendré par A.

• Le sous-espace vectoriel engendré par A est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant A.

Nota : considérons l'application , où désigne l'ensemble des parties de E.

On désigne par A et B deux parties quelconques de E. Il résulte de la propriété précédente que :

• L'application est croissante : si , alors .
• L'application est extensive : .
• L'application est idempotente :Vect((Vect(A)) = Vect(A)

On dit alors que est une fermeture. Les sous-espaces vectoriels de E sont les points fixes de  :

• Pour qu'une partie A de E soit un sous-espace vectoriel de E, il faut et il suffit que Vect(A) = A.

Propriété 2

Soient A et B deux parties de E. Alors :

• 

Somme de deux ou plusieurs sous-espaces vectoriels

Définition

Soient et deux sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E :

.

Propriété et définition

• est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois et . On l'appelle somme de et .
• Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois et , alors .

C'est pourquoi on dit que est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant . Cela équivaut à :

• est l'intersection de tous les sous-espaces vectoriels de E contenant .

Remarque : la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est pas, en général, un sous-espace vectoriel ; pour qu'elle le soit, il faut et il suffit que l'un des deux soit inclus dans l'autre.

Généralisation

Soient m sous-espaces vectoriels de E. On définit le sous-ensemble suivant de E :

.

C'est l'ensemble des vecteurs de E qui admettent au moins une décomposition en somme de vecteurs appartenant respectivement aux sous-espaces vectoriels (si cette décomposition est de plus unique, la somme des sous-espaces est dite directe).

Dès lors :

• est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois . On l'appelle somme de ces sous-espaces.
• Si F est un sous-espace vectoriel de E contenant à la fois , alors .

On dit de même que est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant .

Espace vectoriel fini

Soit K un corps fini de cardinal q, et soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n sur K. Alors l'ensemble E est fini de cardinal qⁿ. Il possède un nombre fini de sous-espaces vectoriels. Le nombre de sous-espaces de dimension k vaut

.

Cette quantité est le quotient du nombre de familles libres à k éléments de E par le nombre des bases dans un K-espace vectoriel de dimension k.

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau