Renormalisation - Définition

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Divergences en électrodynamique quantique

Fig. 2 – Un diagramme contribuant à la diffusion électron-électron en QED. La divergence UV de l'intégrale sur la boucle est logarithmique.
Fig. 3 – Polarisation du vide, ou écrantage des charges. Divergence UV logarithmique.
Fig. 4 – Diagramme de self-interaction en QED. Divergence UV logarithmique.

Quand ils mettent au point l'électrodynamique quantique (QED), Max Born, Werner Heisenberg, Pascual Jordan, et Paul Dirac découvrent que beaucoup d'intégrales du calcul perturbatif divergent.

Une façon de décrire les divergences est découverte à ce moment-là par Ernst Stueckelberg, perfectionnée dans les années 1940 par Julian Schwinger, Richard Feynman, et Sin-Itiro Tomonaga, et finalement systématisée par Freeman Dyson. Les divergences apparaissent dans les calculs impliquant des diagrammes de Feynman comprenant des boucles fermées de particules virtuelles.

Bien que les particules virtuelles doivent obéir aux lois de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement, elles peuvent avoir n'importe quel quadri-moment (ou 4-moment), même si elles n'observent pas la relation entre énergie et quantité de mouvement de la relativité pour la masse de la particule donnée. Ceci veut dire que E² - p² peut être différent de m² – par exemple pour un photon cela peut être non-nul. Dans ce cas, la particule est dite « hors de sa couche de masse », ou tout simplement « hors couche ». Quand il y a une boucle, les 4-moments des particules participant à la boucle ne sont pas uniquement définis par ceux des particules incidentes et émergentes. On peut ajouter un 4-vecteur constant à tous les 4-moments des particules formant la boucle sans violer les conditions de conservation du 4-moment à chaque vertex de la boucle. Pour calculer le diagramme de Feynman, il faut intégrer sur toutes les possibilités de choix des 4-moments de la boucle.

Ces intégrales sont parfois divergentes, car la fonction à intégrer ne décroît pas assez vite pour des 4-moments très grands. On appelle ceci une divergence ultraviolette (UV). Ces divergences UV peuvent être interprétées indifféremment comme provenant

  • de la région où tous les 4-moments des particules intermédiaires de la boucle sont très grands ;
  • des très courtes longueurs d'onde et hautes fréquences des fluctuations des champs soumis à l'intégrale de chemin ;
  • des intervalles d'espace-temps très courts entre les diverses émissions et absorption des particules participant à la boucle, si l'on considère la boucle comme une somme sur les chemins des particules.

On peut donc considérer ces divergences comme des phénomènes à très courtes distances dans l'espace-temps, ce qui nous renvoie à la divergence de l'électrodynamique classique.

En QED, il y a exactement trois catégories de diagrammes divergents, illustrés sur les figures à l'ordre à une boucle :

  1. un électron émet des photons, puis un avec lequel il interagit avec un autre électron, et enfin réabsorbe les premiers photons émis. C'est la renormalisation de vertex ou
  2. un photon crée un ensemble de particules virtuelles : électron-positron et photons, qui se réannihilent en un photon. C'est la polarisation du vide .
  3. un électron émet des particules virtuelles et les réabsorbe. C'est la self-interaction de l'électron .

Ces trois divergences correspondent à trois paramètres de la théorie :

  1. la charge de l'électron
  2. la normalisation du champ du photon
  3. la masse de l'électron

Une autre classe de divergences, appelées divergences infrarouges, est due à la présence de particules de masse nulle, comme le photon en QED. Tout processus impliquant l'accélération de particules chargées se traduira par l'émission d'une onde de champ classique, qui comprend une infinité de photons cohérents de grande longueur d'onde. La probabilité d'en émettre un nombre fini est nulle.

En QED, ce processus est bien compris. Par exemple, à l'ordre à une boucle, la fonction de vertex () a des divergences UV et IR. Contrairement à ce qui se passe pour la divergence UV, la divergence IR ne nécessite pas la renormalisation d'un paramètre de la théorie. On ne l'élimine pas directement de l'amplitude de diffusion, mais de la section efficace. On ajoute les contributions à cette section efficace du carré de l'amplitude, avec sa divergence IR, et celle du processus comparable, où le photon virtuel de la boucle est émis de façon réelle (il n'y a donc plus de boucle, mais une intégration sur les moments des photons réels). Ce calcul tient compte du processus de bremsstrahlung. Il n'y a pas de moyen physique de distinguer un photon d'énergie nulle circulant dans une boucle comme sur le diagramme de vertex, et un photon d'énergie nulle émis par bremsstrahlung. Donc seule la somme des deux sections efficaces revêt une signification physique, ce qui se traduit par l'élimination des divergences IR.

Une divergence de boucle

Le diagramme de la présente une des contributions à une boucle à la diffusion électron-électron en QED. L'électron représenté à gauche de la figure par une ligne polygonale arrive avec un 4-moment pµ, et ressort avec un 4-moment rµ. Il commence par émettre un premier photon virtuel, de 4-moment qµ, puis un second de 4-moment pµ-rµ pour transférer du 4-moment à l'autre électron. Finalement, il réabsorbe le premier photon émis. À chaque interaction, le 4-moment total est conservé, mais cela ne définit pas la valeur de qµ, qui peut prendre n'importe quelle valeur. On en déduit la valeur du 4-moment de chaque particule virtuelle dans la boucle. Il faut donc envisager toutes les possibilités, et intégrer sur tout le 4-espace de qµ. Les règles de QED définissent la valeur de la fonction à intégrer : couplage de l'électron au photon, terme à insérer pour chacune des lignes de particules virtuelles (ou propagateur). Ce terme devient infini quand la particule virtuelle se trouve sur sa couche de masse, mais des prescriptions sont données pour interpréter l'intégrale en ces points.

L'amplitude relative à ce diagramme finit donc par s'écrire :

 -ie^3 \int {d^4 q \over (2\pi)^4} \gamma^\mu {i (\gamma^\alpha (r-q)_\alpha + m) \over (r-q)^2 - m^2 + i \varepsilon} \gamma^\rho {i (\gamma^\beta (p-q)_\beta + m) \over (p-q)^2 - m^2 + i \varepsilon} \gamma^\nu {-i g_{\mu\nu} \over q^2 + i\varepsilon }

Les diverses matrices γµ qui apparaissent dans cette expression sont les mêmes que celles de l'équation de Dirac sous sa forme covariante ; elles sont reliées au spin de l'électron, et au fait que l'équation de Dirac décrit l'électron aussi bien que le positron, d'où leur dimension 4 × 4. Les trois facteurs -e sont les constantes de couplage électrique des trois sommets de la boucle. Les symboles donnent une interprétation symbolique de la manière dont l'intégration doit se faire pour les particules sur leur couche de masse. La partie la plus intéressante pour notre propos est la dépendance en q de l'intégrand pour les grandes valeurs de q.

Le numérateur a une puissance 2 des composantes de q, tandis que le dénominateur en a une de 6 (, p. 122). Le terme dominant est donc :

 e^3 \frac{\gamma^\mu \gamma^\alpha \gamma^\rho \gamma^\beta \gamma_\mu} {(2\pi)^4} \int d^4 q \frac{q_\alpha q_\beta }{(r-q)^2 (p-q)^2 q^2}

Comme on intègre sur un espace à 4 dimensions, l'intégrale diverge logarithmiquement, c'est-à-dire que si on limite les valeurs des composantes de q à une valeur Λ, l'intégrale se comporte comme log(Λ), ce qui tend vers l'infini quand Λ → ∞. Des divergences semblables se produisent dans d'autres théories des champs.

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